探求解决组合问题的一般策略

刘玲玲

摘 要：排列组合问题都是高考重点考查的内容，每次考试都会有题目出现，而针对于这类问题，由于题干条件比较复杂，很多学生觉得无从下手，但其实这类问题当中，我们通过题干分析，可以找到明确的关键词，从而使用特定的方法，去快速解决这一类问题。笔者试着从解决组合问题的一般策略入手，运用直接法、间接法、分类法、分步法等以实例来说明问题。

关键词：组合；直接法；间接法；分步法

排列组合问题求解的关键是灵活运用两个基本原理和公式，抓住问题的本质特征，采用适当的策略和方法，选用恰当技巧即可解决问题。学习和总结求解此类问题的解法原则，掌握它的规律，对培养学生的逻辑思维能力，具有重要的作用。下面我就一些试题为例作一分析说明，相信对大家会有很大的帮助。

一、直接法

分析问题时，我们从题目所要求的问题出发，利用组合定义及公式进行直接的进行处理，从而得到结果，这种处理问题的方法称为直接法。

例1一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，从口袋内任意取出3个球，共有多少种不同的取法？

解析：由题意知是组合问题（因为取出的3个球没有顺序），由组合的定义及组合数公式，可以直接求得不同的取法为 （种）。

二、间接法

在分析问题时，根据题意，从正面下手不太容易或不能处理时，我们利用“正难则反”的思想，从反面考虑得到结果，这种处理问题的方法称为间接法。

例2想从4名男生和6名女生中，任意的抽取3人去参加社会实践活动，问至少有1个男生参加的抽取方法共有多少种？

解析：若直接考虑，“至少有1个男生”可以分成三种情形：3男，2男1女，1男2女，若从反面考虑，只需考虑都为女生的 种，所以用间接法得：至少有1个男生参加的抽取方法共有 （种）。

三、分类法

在考虑问题时，按照分类讨论的思想或分类计数原理，对所研究问题依据一定的（较简单的）标准进行恰当的分类，最后把所得结果相加即得所求，这种处理问题的方法称为分类法.在应用分类法时，必须注意分类要做到不重不漏，分类标准一旦确定就不能改变，不然就可能导致错误的结果。

例3 一个集合中有5个元素，问该集合的非空真子集一共有多少个？

解析：根据题意，按照非空真子集中元素个数的多少，可以分为4类：含1个元素、含2个元素、含3个元素、含4个元素，由分类计数原理得，该集合的非空真子集一共有 （个）.

四、分步法

在分析问题时，根据题意要完成工作，可以依据分步计数原理来处理，这种处理组合问题的方法称为分步法.

例46本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

解析：3个人一本一本的来取，甲从6本不同的书中任取2本有 种方法，甲不论用哪一种方法来取，乙从剩下4本书中任取2本有 种方法，而甲乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的2本书中任取2本有 种方法，所以由分步计数原理一共有 （种）分法。

五、分类分步综合法

在处理问题时，由于问题比较复杂，我们可以根据试题条件，从整体上考虑分类，局部上考虑分步处理，也就是所谓的先分类后分步，即分类分步综合法。

例5 现有8名青年，其中有4名能胜任英语翻译工作，有3名青年能胜任德语翻译工作，有1名青年两项工作都能胜任，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解析：从总体上考虑，先分类，以两项工作都能胜任的青年从事的工作为标准，可以分为三类：

① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有 ；

② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有 ；

③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有 .

∴一共有 + + =42（种）不同的选法。

六、插空法

在处理某些元素不相邻问题时，可以先考虑其它元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为插空法.

例5马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？

解析：本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数为 种方法.

七、隔板法

我们经常所遇到的组合问题都是针对不同的元素，在一些组合问题中，由于题目本身的特殊性（元素都相同），用其它方法很难完成，我们可以考虑隔板法，即把要分配的相同的物体排成一排，在再这些物体之间的空位中插上隔板，从而完成工作，这种方法称为隔板法.使用隔板法所应满足的条件：所有元素必须相同，所有元素必须分完，每组至少有一个元素。

例7 某校高二年纪7个班，现要从中选出10人参加全国数学联赛，问每班至少1人的选法用多少种？

解析：等价于把10个人（名额）排成一排，则10个人（名额）之间构成了9个空位，在9个空位中选取6个，在选取的每个空位上插上一块代表班级的隔板，就把10个名额分给了7个班，∴一共有 种选法。

八、整体考虑法

例8 某城市有5条南北走向的街道，4条东西走向的街道，如果从城市的一端A走向另一端B（如图），问最短路径有多少条？

解析：对于本题，如果要局部考慮就非常的困难，我们转换思路，利用整体考虑法，从总体上来考虑：首先把相邻两个路口之间的距离看成一步，由题意，从A到B最短走法是东西走4步，南北走3步，一共是7步，其中四步向东，三步向南，不同走法的区别在于哪3步向难（或哪4步向东），所以不同的最短路径有 条（ ）.

参考文献：

[1]于水青.排列组合问题的求解方法与技巧[J].山西师范大学学报（自然科学版），2014，12：15-17.

[2]周赛霞.排列组合问题常用解题方法与技巧[J].中学生数理化（高考版），2008，7：23-25.