多星博弈拦截Nash和Pareto策略研究*

徐东宇 王淳宝 赵 硕 叶 东

1.哈尔滨工业大学航天学院，哈尔滨150001 2.中国空间技术研究院，北京100094 3.航天东方红卫星有限公司，北京100094

随着科技的发展，未来战场态势必将越来越复杂，而卫星作为空间力量的重要组成部分，在提供战场信息时具有传送信息量大、不受地形限制等优点[1]，为了夺取空间信息主动权，对敌方卫星实施拦截打击有着重要意义。

针对拦截问题，文献[2]基于滑模面进行了导弹的制导与控制一体化设计，仿真表明了采用所设计的控制方法能够满足拦截要求。冯[3]分析了视线角和视线角速度对动能拦截器末制导的影响，通过划分参数域，给出了拦截域和突防域的分布，分析了参数对其影响。赖[4]考虑目标进行程序机动时的拦截策略，基于动态面和扩张状态观测器对制导与控制进行了设计，仿真分析了目标在进行正弦机动时，采用相应的控制策略能够实现对目标的精确拦截。李[5]分别研究了拦截卫星的中制导和末制导方法，基于Lambert轨道转移设计了中制导策略以接近卫星，完成交班后进入末制导过程，采用滑模控制策略实现精确拦截。虽然上述文献对目标拦截问题均进行了研究，但并未考虑目标的机动性，且仅考虑单个拦截器。而随着科技的发展，目标可以进行自主决策，采取相应的策略以应对不同的战场态势，此时拦截策略的设计需要考虑目标的最优机动性，传统的单边拦截策略已不再适用，此时为了实现可靠拦截，通常需要多颗拦截器，因此研究多拦截器的合作拦截策略有着重要的意义。

针对博弈拦截问题，学者们已经进行了充分的研究。文献[6]中作者以小车模拟导弹拦截态势，基于深度确定性策略梯度算法设计了追逃策略，该方法能够实现对目标的有效拦截，具有较强的自适应性。Horie[7]等基于飞机三维动力学模型，通过微分对策理论将优化拦截问题转化为两点边值问题，通过仿真得出，最优飞行轨迹分为偏离垂直平面以及垂直面内运动2个阶段。当拦截器距离目标较近时，拦截过程进入末端拦截，针对航天器末端拦截问题，Prussing[8-9]等应用主矢量理论分别研究了多脉冲逃逸策略以及拦截策略。文献[10]考虑航天器拦截目标后返回原轨道的情况，通过在目标函数中引入一个参数k对路径进行约束。Gutman S[11]在双积分动力学模型的基础上，以终端相对距离为指标建立了拦截器与目标的控制策略，分别给出了在极坐标、球坐标下的策略形式。文献[12-13]在给出拦截器与目标控制策略的基础上，建立了关于拦截剩余时间的一元四次方程，以求解终端拦截时间，并讨论了方程的分叉现象。文献[14]考虑拦截过程中视线角测量存在噪声的情况，通过状态观测器对其进行估计，再将其应用于控制策略。对于多星合作博弈问题，LIU[15]考虑2枚导弹拦截同一目标，在简化的导弹动力学模型基础上，通过Nash均衡集设计最优加速度方向，即最优制导率。文献[16-17]中均以平面双积分系统为模型，通过可达集设计合作拦截时的最优策略。文献[18]中假设拦截器与目标速度不变，基于阿波罗尼圆设计初始速度方向角以实现最优拦截。

对于航天器末端拦截问题，虽然已经存在较多的研究，但大多局限于双星博弈或简化模型的多星博弈，与实际情况相差较大。针对多星博弈拦截问题进行研究，分别推导了各拦截器非合作的Nash反馈策略，以及合作的Pareto反馈策略。

文章安排如下：1)建立末端拦截动力学模型；2)以终端零控脱靶量为指标推导了各拦截器非合作态势的Nash均衡解；3)推导了各拦截器以合作方式态势进行拦截的Pareto均衡解；4)将博弈策略应用于多星博弈拦截，并进行了仿真分析。

1 末端拦截动力学模型

末端拦截过程中，拦截器与目标距离较近，因此在拦截器附近建立参考卫星，如图1，其中O为地心；O1为参考卫星；P为拦截器。设参考卫星运行在圆轨道，则在轨道坐标系下，拦截器相对参考卫星的动力学方程可简化为CW方程

(1)

式中：x,y和z为拦截器相对参考卫星的位置；ω为参考卫星的轨道角速度；ux,uy,uz分别为拦截器的控制输入。

图1 拦截器与参考卫星

(2)

由线性系统理论可得状态转移矩阵为

(3)

其中，子矩阵分别为[19]

设末端拦截段存在N个拦截器P1,…,PN与目标，其动力学均满足CW方程，即

(4)

分别定义拦截器P1,…,PN与目标的相对状态

XPiE=XPi-XEi=1,…,N

对其求导并将式(4)代入，可得相对状态方程

(5)

在多星拦截过程中，拦截器与目标围绕拦截终端距离展开争夺，因此仅需考虑星间的位置矢量[20]。分别定义拦截器P1, …, 拦截器PN与目标的零控脱靶量，对系统进行降维

ZPiE(t)=DΦ(tfi,t)XPiE其中，i=1,…,N

(6)

对式(6)求导，并结合可得

(7)

式中：BPi=DΦ(tfi,t)B=Φ12(tfi,t)；CEi=-DΦ(tfi,t)C=-Φ12(tfi,t)。

对于多星博弈问题，根据各航天器是否合作拦截，将其分为Nash均衡策略和Pareto均衡策略。

2Nash博弈策略设计

(8)

对于航天器拦截问题，要求在有限时间内使目标进入某一拦截器的拦截范围，因此各拦截器的指标函数定义为其与目标的终端零控脱靶量范数。

根据Nash均衡定义，分别定义拦截器Pi(i=1,…,N)和目标的指标函数如下

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

其中：ki(i=1,…,N)代表了目标对各拦截器的博弈程度：

若ki>kj(j={1,…,N}i), 则目标主要与拦截器Pi进行博弈，即主要躲避Pi；

若ki

若ki=kj(j={1,…,N}i), 则目标进行无差博弈，即同等程度躲避拦截器Pi和Pj。

3Pareto博弈策略设计

通过Nash反馈策略，各航天器虽然可以达到均衡态，但由于并非合作关系，拦截系统可能并未达到最优状态，因此对于多星博弈问题，设各拦截器采取合作策略，使系统达到Pareto均衡。

(14)

对于Pareto均衡，拦截器的优化指标为式(9)的凸组合，即

(15)

(16)

其中，ki(i=1,…,N)定义与第2节相同

(17)

(18)

类似地，目标的控制策略UE仍为

(19)

通过比较Nash反馈策略式(12-13)和Pareto反馈策略式(18-19)可知，拦截器无论采取合作或非合作拦截方式，其博弈策略均相同，即各拦截器采取非合作方式，即可达到合作拦截的目的。

4 仿真结果及分析

由于合作与非合作策略相同，因此只对合作态势下的多星博弈拦截问题进行仿真。

考虑2颗拦截器进行仿真，初始条件如下：假设拦截器P1和P2及目标均在地球同步轨道附近运动，则将参考卫星选为GEO轨道上与其相近的卫星，轨道角速度为ω=7.2722×10-5rad/s。拦截器P1初始位置为[-2;0;1]km，初始速度为[0;-0.005;0.005]km/s；拦截器P2的初始位置为[1;1;0]km，初始速度为[0.01;0;0.005]km/s；目标的初始位置为[0;0;0]km，初始速度为[0;0.005;0]km/s。设拦截器P1的推力幅值为ρP1=0.686m/s2，拦截器P2的推力幅值为ρP2=3/2ρP1m/s2，目标的推力幅值为ρE=1/2ρP1m/s2。此外，设拦截器的拦截半径l=0.01km。

1) 合作博弈态势。设终端拦截时间tf=100s，且目标的综合权重为k1=0.5,k2=0.5。

图 2给出了各航天器的运动轨迹，图3绘制了博弈过程中各拦截器与目标之间相对距离的变化情况。可以看出，在100s时，拦截器P1和P2与目标的相对距离均达到了0，满足拦截要求，即实现了对目标的拦截。

图2 多星博弈的三维运动轨迹

图3 多星博弈的相对距离变化

2)目标综合权重对拦截的影响。设终端拦截时间tf=100s，目标综合权重为k1=0.8,k2=0.2，此时目标主要躲避拦截器P1。

图4和5分别给出了三星的运动轨迹，以及相对距离的变化情况。可以看出，由于目标主要对推力幅值较大的拦截器P1进行躲避，导致在100s的终端时间条件下，拦截任务失败，此时只能通过延长拦截时间实现对目标的拦截。

图4 多星博弈的三维运动轨迹

图5 多星博弈的相对距离变化

5 结论

针对多星博弈末端拦截问题，分别考虑了多拦截器非合作与合作态势下的拦截策略，基于Nash均衡建立了非合作博弈策略，基于Pareto均衡建立了合作博弈策略。通过比较，2种态势下各拦截器策略相同。最后，仿真验证了采用提出的博弈策略，拦截器可以实现对目标的拦截，且不同的综合权重将导致不同的拦截结果。