多包数据丢失的广义网络系统的输出反馈控制

王佳

摘要：针对广义网络控制系统，该文研究了其同时具有测量和控制数据丢失的问题。首先把广义系统进行等价变换使其变为正常系统。然后采用满足Bernoulli分布的随机变量来描述多测量和多控制数据包的随机丢失问题。设计的输出反馈控制器使得闭环系统渐近稳定且满足给定的性能约束。利用矩阵不等式方法给出了动态输出反馈控制器存在的充分条件。采用改进的CCLM算法给出了输出反馈控制器设计参数的求解方法。最后数值例子表明了所提设计方法的有效性。

关键词：广义网络控制系统;多包丢失;[H∞]控制;线性矩阵不等式;改进CCLM（Cone Complementarity Linearization Algorithm）算法

中图分类号：TP13       文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）20-0028-04

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

Abstract： In this paper， the control with both multiple measurement and control packets dropouts for descriptor systems is investigated. Firstly， the descriptor systems are transferred to the normal systems. Then two independent Bernoulli distributed white sequence are used to describe the multiple measurement and control packet dropouts. An output controller is designed to make the systems stable and achieve the prescribed disturbance attenuation level. A sufficient condition for the existence of the dynamic output feedback controller is presented via matrix inequalities. The extended CCLM algorithm is applied to solve the parameters of the controller. Finally， an example is provided to illustrate the usefulness of the design method.

Key words： descriptor networked systems; multiple packet dropouts; [H∞] control; LMI; extended CCLM algorithm

1 背景

廣义系统，又称奇异系统或微分代数系统，是一类涵盖正常系统的更一般化的动力系统。它大量地出现在许多实际的系统模型中，例如电力系统、经济系统、宇航系统等。近几年来，广义系统已经成为人们研究的热点[1-4]。广义系统是对正常系统的推广，是比正常系统更具广义意义的系统，具有许多正常系统没有的特性。同时它在结构上变得更加复杂，在理论研究上也更具有挑战。

网络控制系统是将系统各组件 （传感器、控制器、执行器）之间通过网络交换信息。在网络控制系统中，数据传输通过传感器到控制器和从控制器到执行器。网络系统模型可以看作开关的随机开关模式。当开关打开时，输出保持在前一次的数值，数据包丢失。当网络系统发生故障或是网络拥塞时，则系统会发生数据丢失现象。数据包丢失通常是随机现象。由于随机的数据包丢失，使得传统估计和控制方法不能直接应用到网络系统当中。同时，数据丢失会降低系统的性能，使得系统的滤波和估计更具有挑战性。目前对于数据丢失问题的研究已经取得了一些成果[5-10]。但主要研究方向为网络丢包问题的滤波器设计问题和稳定性问题。关于多包丢失的控制器设计问题的研究还比较少。并且关于广义网络控制系统的数据丢失的研究成果还鲜见报道。

本文针对一类广义网络控制系统同时具有测量数据丢失和控制数据具有多包丢失的情况进行了研究，给出了动态输出反馈控制器的设计方法。并利用改进CCLM算法，给出了控制器参数的求解方法。

2 广义网络控制系统的建模

考虑如下具有多包丢失的广义离散不确定系统：

其中[x（k）∈?n]是状态向量，[w（k）∈?r]是外部干扰信号，[z（k）∈?q]是系统的被调输出，[uF（k）∈?m]是执行器接收到的控制信号，[y（k）∈?p]是传感器的测量信号。矩阵为系统相应维数定常矩阵， 并且[rank{E}

其中[Prob{?}]代表事件[?]的概率[E{α（k）}]代表对随机变量[α（k）]数学期望，[E{β（k）}]代表对随机变量[β（k）]数学期望，[α]和[β]是已知的正数。[α（k）]和[β（k）]是相互独立的。执行器和传感器的多包丢失情况可以分别表示为其中[u（k）∈?m]控制器输出的信号，[yF（k）∈?p]是传感器的测量信号。

由文献[1]可得关于广义系统的如下基本定义和定理。

定义1：如果系统满足：[detsE-A]不恒等于零，则称系统是正则的。

定义2：若矩阵对[E，A]正则、稳定、因果，则对应的广义系统是容许的。

定义3：如果离散广义系统正则，[ degdetzE-A=r]，则存在非奇异矩阵[P1]，[Q1]，使得

定义4：等价变换的两个系统完全等价。

引理1：第二种受限等价系统因果，当且仅当第二种受限等价变换中[A22∈R（n-r）×（n-r）]可逆。

增广的状态向量为：

对系统（5），设计如下全阶动态输出反馈控制器：

其中[x（k）∈Rn]是控制器的状态，[AF]，[BF]， [CF]是待设计的控制器参数。定义增广状态[x（k）=x（k）x（k）]，由（5）和（6）得闭环系统为：

本文的设计目标是针对系统（5）设计动态输出反馈控制器（6），使得对于所有容许的测量数据和控制数据丢失，闭环系统（7）满足如下性能：1）当外部干扰[wk=0]时，闭环系统是渐近稳定的。2）在零初始情况下，满足性能指标，即在零初始条件下，被控输出满足[k=0∞E{‖z（k）‖}<γ2k=0∞E{‖w（k）‖}]，其中[γ>0]是标量。

3 主要结果

定理1：给定[γ>0]，闭环系统是渐近稳定且满足[H∞]性能约束的充分条件是存在正定对称阵P使得下式成立：

由Schur补引理知定理1成立，则[Ω<0]，闭环系统渐近稳定且满足性能约束。

基于定理1， 如下定理给出使得闭环系统）渐近稳定，并且满足性能约束的动态输出反馈控制器的存在充分条件和设计方法。

定理2：给定[γ>0]，闭环系统是渐近稳定且满足[H∞]性能约束的充分条件是存在正定对称阵[S，Q，V，R，Q1，Q2，Q3]使得[Ξ1*Ξ2Ξ3<0]成立，其中证明：首先， 对正定对称阵P和[P-1]进行分解，[P=RX12XT12X22，P-1=SY12YT12Y22]。进行合同变换并根据Schur补定理可知控制器存在，并由两个等式约束。这一问题我们可以用改进的CCLM方法进行求解。改进的CCLM算法如下：第一步： 给定最大迭代次数N，误差精度为[?];第二步： 寻找满足定理2和两个等式的一组解，并令[V（k）=V， S（k）=S， Q（k）=Q， R（k）=R， γmin=γ， k=0];第三步：寻求最优解[Q， Q， Q， V， S， Q， R]使得具有半正定约束的目标函数最小[mintrace（VS（k）+V（k）S+trace（QR（k）+Q（k）R）+δ， δ=γ2];第四步： 若该解满足等式，并且[|trace（VS（k）+V（k）S）+trace（QR（k）+Q（k）R）-4（n+m+p）|≤?]，则[γmin=min{γmin，γ}];第五步： 若k>N，则最优解为[γmin]迭代结束;第六步： 令[V（k）=V， S（k）=S， Q（k）=Q， R（k）=R]，[k=k+1]，返回第三步。本文对CLMM算法的改进，减少了其保守性。

4 仿真例子

考虑形如（1）的广义系统模型， 其中：

[B2=-0.042-0.021，C2=1.40.800，D11=0.50.5，D12=0.960.98，D21=1.6]。假设测量数据丢失的概率0.1;控制数据丢失的概率0.2;迭代次数N=200，则根据上述算法可得到最优解为[γ=0.2044]，此时的控制器参数为：

5 结论

本文针对广义网络控制系统研，究其具有多包数据丢失的问题。给出了在控制数据和测量数据均有丢失的情况下，动态输出反馈控制器的设计方法。设计的控制器使得闭环系统满足较好的性能约束。并利用改进的CCLM算法，给出了动态输出反馈控制器的求解方法。

参考文献：

[1] 张庆灵， 杨冬梅. 不确定广义系统的分析与综合[M]. 沈阳： 东北大学出版社， 2003.

[2] Xu S， Lam J. Robust control and filtering of singular systems[M]. Berkub， Germany： Springer， 2006.

[3] Carlos E， Souza D， Barbosa A， et al. Robust filtering for uncertain linear discrete-time descriptor systems[J]. Automatica， 2008（44）： 792-798.

[4] Lee C， Fong I. H Filter design for uncertain discrete-time singular systems via normal transform[J]. Circuits systems signal processing， 2006， 25（4）： 525–538.

[5] Sahebsara M， Chen T， Shah S L. Optimal H Filtering in networked control systems with multiple packet dropout[J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 2007， 52（8）： 1508-1513.

[6] Sahebsara M， Chen T， Shah S L. Optimal $H_2$ Filtering with random sensor delay， multiple packet dropout and uncertain observations[J]. International Journal of Control， 2007， 80（2）： 292-301.

[7] Sun S， Xie L， Xiao W， et al. Optimal linear estimation for systems with multiple packet dropouts[J]. Automatica， 2008， 44（5）： 1333-1342.

[8] Wang Z， Yang F， Ho D W C， et al. Robust H Control for networked systems with random packet losses[J]. IEEE Transactions on Systems Man and Cybernetics Part B， 2007， 37（4）： 916-924.

[9] Wu J， Chen T. Design of networked control systems with packet dropouts[J]. IEEE Transactions～on Automatic Control， 2007， 52（7）： 1314-1319.

[10] Yang F， Wang Z， Ho D W C， et al. Robust H control with missing measurements and time-delays[Z].

【通聯编辑：谢媛媛】