三阶随机张量高斯分布

何玲玲，林泽榕，张子明，徐常青

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009）

高斯分布作为一类连续概率分布在概率统计学中的重要地位不言而喻，其重要性主要是因自然界中大样本的普遍性以及大样本遵从高斯分布的趋势性。从过去已知的各类随机变量的大样本研究以及自然现象规律性研究中，可看出人类对从随机现象中的规律性汲取无法离开这种高斯分布的假设。随着人类科技进步和信息技术的发展，人们获取的信息数据开始趋向于超高维（阶）和超大样本集合，这时，传统的数据统计分析和数据分布的概率模型假设似乎出现了一些问题。

矩阵高斯（正态）分布是多元正态分布到随机矩阵变量正态分布的推广。多元高斯分析诞生于20 世纪20 年代后期。1928 年，Wishart 研究了多元正态总体样本协方差的精确分布，这是多元统计分析的开端，Wishart 还首次提出了多元正态分布的概念。1987 年，张洪青等人刻画了矩阵高斯分布[1]。

笔者将研究多维（高阶）随机张量的分布。张量为矩阵在高阶情形下的推广，它可视为由多个矢量空间的张量积。最初主要用于力学、计量化学和计量心理学等方面。近10 年来，张量开始在数据挖掘[2]、图像与信号处理[3]、计算机视觉[4]等领域得到应用。近几年，开始有人将张量运用于模[5-6]。事实上，由于科学技术的发展，现代化方法采集得到的高维大数据集合已非常普遍。这类数据的传统处理方法是将这些高维数据平面化，即转化为矩阵形式，这一方面破坏了数据原本的相关结构，也可能会使数据矩阵的维数变得异常庞大，以至于对应的矩阵分解无法实现或分解毫无意义，而高阶张量较好保持了数据结构。

与一个随机变量分布不同的是，一个随机矩阵的分布由行向量组的随机分布和列向量组的随机分布组成，且一般情形下对应行（列）向量组具有相同的分布模型（如正态分布），且协方差矩阵相同。同样，一个三阶随机张量的分布由第一个方向的向量组的随机分布和第二个方向的向量组的随机分布以及第三个方向的向量组的随机分布组成，且对应的第一（第二或者第三）个方向的向量组具有相同的分布模型，且协方差矩阵相同。

1 预备知识

1.1 向量、矩阵及高斯分布的预备知识

定义1[7]一个随机向量x∈Rn的特征函数定义为

这里 t∈Rn。类似，一个随机矩阵 X∈Rm×n的特征函数定义为

其中 T∈Rm×n。

定义 2（1）称一个随机矩阵 Z=（zij）∈Rm×n服从标准正态矩阵分布，记 Z～Nm，n（0，Im，In），若满足以下两条：Zi·′～Nn（0，In），∀i=1，2，…，m；Z·j～Nm（0，Im），∀j=1，2，…，n。其中 Zi·，Z·j分别表示矩阵 Z 的第i 个行向量和第j 个列向量，In表示n 阶单位矩阵。

（2）称一个随机矩阵 Y 服从正态分布，记作 Y～Nm，n（M，Ξ，Σ），若满足以下条件：Y·j=colj（Y）～Nn（M·j，Ξ），∀j=1，2，…，p；Yi·＝（rowi（Y））′～Np（Mi·，Σ），∀i=1，2，…，n。其中 Ξ∈Rn×n，Σ∈Rp×p，M·j表示 M 的第j 列，Mi·表示 M 的第i 行。

引理 1[7]若随机矩阵 Y∈Rm×n服从高斯分布，则记为 Y～Nm，n（M，Ξ，Σ）当且仅当

引理 2[7]若 X～Nn1，p1（M，Ξ，Σ），A∈Rn×n1≠0，B∈Rp1×p≠0，C∈Rn×p是常数矩阵，那么

引理 3[8]（1）若随机向量 x～Nm（0，Im），则其特征函数为

它的密度函数为

（2）若随机矩阵 X～Nm，n（0，Im，In），则它的特征函数为

密度函数为

（3）若随机矩阵 Y～Nm，n（U，Ξ，Σ），Ξ，Σ 都是正定矩阵，那么 Y 的密度函数为

1.2 张量的基础知识

张量切片是张量矩阵化的降维表示。图1 给出了一个3 阶张量X∈RI×J×K的三种不同方向上的切片方式，即水平切片（horizontal slice）、左右切片（lateral slice）和前后切片（frontal slice）。类似矩阵 A 的行表示法A（i，:）和列表示法 A（:，j），用表示 m 阶张量 X 沿方向 k 的第i 张切片，如 X（i，:，:）表示 3阶张量 X 模-1 方向的第i 张切片，X（:，j，:）表示 lateral 切片（模-2 方向）的第j（j＝1，…，J）个切片，X（:，:，k）表示 frontal 切片（模-3 方向）的第k（j＝1，…，K）个切片。

图1 3 张量在3 个不同方向上的切片

定义 3设有 m 阶实张量则两者内积定义为

定义 4[9]（张量-矩阵积） 一个 m 阶张量与矩阵 U∈RJ×In沿模-n 的乘积为大小 I1×…×In-1×J×In+1×…×Im的 m 阶张量相应元素定义为

2 随机张量高斯分布的特征函数和密度函数