高等数学信息化教学模式下微课的实际运用

李海红 李海霞 吕玉姝

[摘    要] 随着科技发展的日新月异，信息化教学在高等数学教学过程中实现已成为教学模式的发展趋势。信息化教学模式中微课的应用对于高等数学教学效果的提高非常有益，它打开了高等数学教学模式的新篇章。

[关键词] 微课;高等数学;信息化;教学

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2019. 17. 085

[中图分类号] G642    [文献标识码]  A      [文章编号]  1673 - 0194（2019）17- 0217- 03

0      引    言

随着互联网的高速发展和电子设备的广泛应用，网络逐渐成为学生获取知识的重要途径，进而传统教学模式已经很难满足不同专业的学生的学习专属需求。而在这种形式下，微课的诞生成为改革传统教育模式的新力量，成为联系学生、老师、知识的新的纽带。高等数学是工科院校非常重要的基础课，为后续课程的学习提供理论的基础，其思想和方法对学生终身受用。在高等数学教学中运用微课平台，对高等数学信息化教学改革具有重要的意义。

1      如何在高等数学教学过程中融入微课

1.1   应用学习通平台进行课前预习

在进行高等数学新课教学之前，教师可以利用微课[1-2]将要学的要点，通过PPT或视频的模式放在平台上，学生可以应用手机或平板电脑提前预习将要学习的知识。这种方式不仅可以激发学生学习数学的自觉性，也有助于培养他们自主学习的意识。比如，二重积分概念引入时，就可以在微课中，设计曲顶柱体体积问题以及平面薄片质量问题来加深学生对定积分概念的理解。除此之外，对于学生高中阶段容易遗忘的内容，如反三角函数以及极坐标等内容也可以利用微课温习。学生借助手机等电子设备来观看微课进行预习，可以使学生对将要学习的内容大体有个掌握，进而保证在课堂上有的放矢，从而达到提升课堂效率的目的。

1.2   运用微课讲授知识点

目前大多数的工科高等院校所选取的高等数学教材分上下册，包含有十几个章节，所涉及的知识较多，但所给予的课时相对有限。而每个学生的学习基础以及学习能力又不尽相同，所以对于课堂上讲授的知识，很多的学生都很难做到当天理解和掌握。教师可以通过微课将每一章节所讲授的重难点知识做成专题训练模块。如在设计函数的极限以及连续等模块的微课时，可以将函数极限的计算、等价无穷小的概念与两个重要极限、函数的连续与间断点以及它的分类等内容放在一个模块。这样学生就可以利用课余的时间对微课进行观看学习，不仅有利于学生对重难点的掌握，而且有利于知识的转化。

1.3   利用微课解答例题

在微课中可以展示学生集中反映的难点及典型例题的相关解法，以此来满足不同学生的学习要求。我们可以设计典型的例题来归纳函数极限的不同求法，如一元函数极限的不同求法、多元不同类型复合函数求导的方法、运用拉格朗日因子法解决不同类型实际应用的举例、指数跟不同函数积分的计算方法、不同类型积分上限函数求导、在直角坐标和极坐标形式下计算二重积分、如何运用高斯公式简化计算第二类曲面积分的方法、如何运用格林公式简化计算第二类曲线积分的方法、如何判断正项级数的敛散性等，将这些内容所涉及的典型例题做成微课[3]，上传到学习通软件上，学生可以根据自己的薄弱环节反复对其进行学习，加深巩固对所学知识的理解和运用。

2      高等数学教学具体设计——以曲率为例

2.1   教学设计分析

首先， 我们明确所教授对象为土木学院机械专业学生， 根据他们的入学成绩和以往的学习情况，按照专业分层次教学大纲制定高等数学教学目标。讲授课程之前，教师可以在学习通软件或其他教学平台发布高等数学教学计划和提前录制的相关教学视频，充分获取相应的资源进行课前预习;学生也可以利用便利的新兴网络手段提前自主学习相关知识，并通过分组讨论共同学习的方式相互讨论找寻解决问题的办法。本次课曲率概念的引入可以从影響曲率的两个因素出发，一个是切线的转角，一个是曲线的弧长。 通过动画让学生能直观地感受到这两个因素对曲率的影响。由此给出平均曲率的概念，并且再回顾导数公式的引出为位置函数的变化率速度，引导学生给出曲线上任意一点曲率的概念。在设定目标之后，我们就要完善相应微课的内容。为了激发学生学习兴趣，曲率的概念我们需要通过动画引出，首先提问学生在弧段长度相同时，弯曲程度跟切线的转角有什么关系？（这里可以应用学习通的随机选人功能，答对加分）类似提问学生回答在切线的转角相同时，弯曲程度跟弧度的长度有什么关系？由影响曲线弯曲程度的这两个因素，可以得出曲线平均弯曲程度，也就是平均曲率的概念。教师启发+提示与学生一起类比导数的概念得出曲线上任意一点处曲率的概念，深刻体会极限和导数的思想，激发学生求知欲和培养学习求知精神和成就感。

随后，教师可以在PPT上给出两个生活中的实例，直线上任意一点的曲率和圆的曲率，让学生通过定义可以直接得出结论，可以得到直线上任意点的曲率为零，圆上任意点的曲率相同为半径的倒数。通过实例同学们也可以发现这与我们的现实是相符合的，直线是不弯曲的，圆的弯曲程度与半径成反比，半径越大，弯曲程度越小。

2.2   “曲率”知识点微课的具体内容

本课知识点较多且复杂， 动画演示立体生动，因此，视频时间初步设定为20分钟。为达到本节课的教授的教学目标，解决难点，突出重点，我们把教学环节设计为如下几个阶段：

2.2.1   根据实际问题创设情境引出课题

为了激励学生学习兴趣，对我们教师而言，在教授过程中我们应尽可能的数学学习与他们的生活联系起来，让他们在生活中用探索的眼光认识并掌握数学。所以本节的教学开始，我们从两个影响曲率的因素分析引出曲率的概念：

在空军纪念日上，我国空军组织了规模庞大的飞行表演，其中最令人震撼的是被誉为空中蛟龙的歼十出击。下面我们看一段视频，回顾一下当时的精彩场景。在观看精彩的同时，我们也能深深地体会到飞行员飞行的艰辛和压力。现在请同学们思考一个问题，假设现在你是一名飞行员驾驶者一架战斗机先是俯冲向下，然后扶摇向上，飞行的轨迹如视频展示，你在哪一点处受到的压力最大？压力的大小与哪些因素有关？

我们可以发现，在最低处压力最大，压力的大小与速度有关，速度越大压力越大，还跟哪些因素有关呢？引导学生思考，可让学生举手抢答，得到还跟飞行的轨迹有关，曲线弯曲程度越大，压力越大。

实际上，在军事应用中，为了保证飞行起飞和降落的安全和高效，航空母舰的飞行甲板也是弯曲的。这些都与曲线的弯曲程度有关，由此引出本节课所学内容曲率。

因此我们用单位长度的弧段上的切线转角的大小来刻画曲线的弯曲程度，由此引进曲率的概念如下：

2.2.2   经典讲解例题

随后，教师可以在PPT上给出两个生活中的实例，求直线上任意一点的曲率和圆的曲率，让学生通过定义可以直接得出结论。可以得到结论与我们的直觉“直线不弯曲”相一致.，圆上任意点的曲率相同为半径的倒数。这与我们的直觉“圆的弯曲程度处处相同，而半径越小，圆弯曲得越厉害”是一致的。以上给出了曲率的定义式，但是对于更为复杂的曲线，定义式不合时宜，启发学生如果给出曲线的一般式能否有相应的计算公式呢？如此引出曲率的计算公式。

2.2.3   弧微分概念的引出

教师在PPT上动画给出函数图像，设x，Δx 为（a，b）内两个邻近的点，它们在曲线y=f（x）上的对应点为M，N ，并设对应于x的增量Δx，弧s的增量为Δs（如图4）于是，有：

2.2.4   掌握曲率的计算并进行适当延展

教师精选典型例题发布在学习通上，同时随机抽点两名同学到黑板上解答，教师也可随时检查学生在学习通上上传的答案，实时检验所学效果。

（1）计算抛物线y=ax2+bx+c上任一点处的曲率，并求出曲率最大处的位置。应用学习通软件提问曲率最大处在哪儿？ 为顶点处，与现实印象相符，加深学生对曲率概念的理解。

飞行员俯冲飞行在原点可以看成是做瞬时的圆周运动，在原点处对飞行员进行受力分析，受到座椅对他的支持力和自身的重力，由作用力等于反作用力，支持力就等于飞行员对座椅的压力。物体作圆周转动所受的向心力F来自哪儿呢？引导学生以小组的方式讨论得出结论，并可以派出代表，到黑板上给同学们进行解答。学生解答更能引起学生的关注度，使每个学生能参与到课堂中来，解答好的全小组加平时分奖励，解答不理想的小组其他成员可以补充，这样可以充分调动学生的学习积极性。

2.2.5   变式延伸进行重构

教师给出开放题目，刚才给出并应用的是直角坐标形式下的曲率的計算公式， 现在如果给出曲线是由参数方程给出的，如何得到计算公式呢？另外教师也可以适当引用一些考研题，适当分析引申题目， 重点突出例题的作用，有利于学生对知识进行的联系、消化，从而达到举一反三的效果。

3      结    语

为了能够保证微课在高等数学教学过程中充分发挥出它的积极有效的作用，作为教师首先就得提前并且时时对高等数学中的微课资源进行必要的补充和替换，以此保障学生在学习高等数学时的不同需求。丰富的微课学习能够让学生掌握快捷高效的学习方法，也能在体验参与中愉快地学习。

主要参考文献

[1]杨雯靖. 基于微课的高等数学教学模式研究[J].开封教育学院学报，2015（10）：118-119.

[2]洪雪芳，庄锡钊. 微课在高等数学信息化教学中的应用[J].科学与信息化，2017（18）：166-167.

[3]左传桂. 浅论微课在高等数学信息化教学中的应用[J].宿州教育学院学报，2014（6）：24-225.