基于键合图模型的解析冗余关系法在传感器布局中的应用*

林友红

（海军工程大学舰船综合试验训练基地 武汉 430033）

1 引言

现代故障诊断方法多是基于对系统底层结构和行为的分析。从20世纪90年代开始，国外学者已将键合图应用于故障诊断领域，发展形成了一种方便、快速、适用范围广且诊断效果好的故障诊断方法，在理论和实践方面都达到了较高的水平，充分证明了基于键合图故障诊断的巨大优势和潜力［1～2]。

基于键合图理论的故障诊断方法中最关键的信息之一就是传感器信号。对于一个监控系统，传感器布置是否合理，传感器数量是否足够等问题对该系统的故障诊断特性有着非常大的影响。目前多数的故障诊断与隔离方法都是基于现有的传感器配置方案，对于如何通过优化传感器配置方案来提高诊断性能的研究较少。传感器配置主要研究内容为在满足系统性能优值（系统可观测性、故障可检测性、故障可隔离性和成本预算等）和系统各约束条件的前提下，确定传感器组合方案［3]。键合图模型清晰地描述了系统中各部件之间的能量交换关系，并包含了大量的系统结构、行为和因果关系等信息，通过对系统模型因果路径进行分析，可以方便地进行系统故障可诊断性和可隔离性分析［4]。

针对传感器配置优化的问题，根据分析过程使用的方法和知识的不同，研究方法主要可以分为基于解析模型的方法（定量）和基于知识的方法（定性）两类，其中，定性的方法包括基于神经元的方法［5]、基于遗传算法的方法［6]、基于模拟退火算法的方法［7]和有向图法［8]等。基于知识的传感器配置方法不需要建立系统准确的数学模型，只需要系统的经训练推导所得的先验知识和规则即可，相比于定量的方法更加简单，但其主要缺点是各算法主要通过特定的启发过程选择，忽略了系统实际过程的物理信息，并包含了模式识别等步骤［9]。

本文以两容水箱系统为例，探讨了一种基于键合图模型的解析冗余关系（Analytical Redundancy Relation，ARRs）法应用于传感器的布局中，该方法利用键合图建模优势，建立两容水箱系统的键合图模型，分析系统ARRs，得到系统故障特征矩阵，推导得到系统最优的传感器布局方案，具有模型直观、易于获取系统的故障特征等优点。

2 键合图建模方法

2.1 键合图概述

键合图理论最早由Paynter教授于20世纪60年代初提出［10]，后经推广，逐渐成为一种描述多种能量范畴的系统动力学图示建模方法。键合图将各类系统所涉及的多种物理量，从功率流的角度出发，统一归纳为四种系统变量，即势、流、动量和变位，采用功率键、作用元、功率源、结点、变换器和旋转器等来表征系统基本物理特征和能量转换与守恒关系，描述了系统中功率流的构成、转换、相互间逻辑关系及物理特征［11]。关于键合图的基础理论可参看文献［12]。

2.2 键合图基本元件

基于相同的物理性质，键合图抽象出9种基本元件用以描述不同能量范畴和系统中的各种理想元件。图1所示为键合图基本单元示意图。键合图理论使用功率键表示能量在系统中各个部件之间的流动。功率是一种标量，没有方向，但人们往往习惯于用功率流来表示能量流，故把能量流的方向称为功率流的方向，如图1（a）所示，箭头所指的方向即表示为功率流的方向。

图1（b）、（c）分别表示键合图中的0结点和1结点。0结点也叫共势结点，即所连各键的势皆相等，而流变量代数和为0。1结点也叫共流结点，即所连各键的流皆相等，而势变量代数和为0。如图1（d）所示，变换器（transformer，TF）是一种能量转换器，主要用于转换相同或不同类型的能量，转换前后的能量遵循能量守恒定律。图1（e）所示的回转器（gyrator，GY）用来描述系统能量传输过程中势变量与流变量之间的变换关系。图1（f）所示分别为键合图中的阻性元件、容性元件和惯性元件，分别用于模拟系统中消耗、存储和释放能量的部件。势源和流源分别用来描述环境对系统的势和流的作用，其符号表示如图1（g）所示。

图1 键合图基本单元示意图

3 基于键合图模型生成解析冗余关系的方法

3.1 解析冗余关系

解析冗余关系简而言之就是系统模型的限制关系，而且组成解析冗余关系的变量需全部为已知过程变量，其中包含了系统输入、系统参数、传感器测量信号等。ARR通常为以下的形式：

其中，f1和f2为有关于K1和K2两个函数，并都由已知的系统过程变量构成。在本文所采用的基于键合图模型方法中，系统模型的已知变量通常为功率源（Se和Sf），可调功率源（MSe和MSf），传感器测量信号（De和Df），模型参数（θ）和控制器输出（u），因此，键合图故障诊断模型中的ARR表达式通常为

一般情况下，解析冗余关系是由系统模型中的守恒关系获得，例如伯努利方程、牛顿定律、基尔霍夫定律等。然而，解析冗余关系并不一定具有某种物理意义，即使在这种情况下，系统在正常运行过程中各变量始终要满足系统的解析冗余关系，因为解析冗余关系代表了系统中固有的限制条件。

3.2 基于键合图生成解析冗余关系

在系统建模过程中，根据模型的结构和仿真要求，键合图元件可以设置为积分因果关系和微分因果关系两种。在基于键合图模型的故障诊断中，系统元件应该尽可能地设置成微分因果关系。微分因果关系可以使得模型在计算过程中避免因初始值不明确而额外增加未知量，如果未知量增加，则模型不能建立足够的ARRs。从键合图建模的观点来看，ARR可以写成如下的形式：

ARR的生成算法其实相当于一种递归剔除方法，其具体方法如下：

1）选一个节点；

2）列写该节点的结构方程FS，形成该节点的ARR。列写好该节点的结构方程后，通过键合图的因果路径关系尽可能地消除方程式中的未知变量。例如，方程式中已知变量的数量为NK，未知变量的数量为NU，则有：

其中，nvar为总的变量的个数。生成ARR的方法就是降低NU且增加NK，当最终NU等于0时，便可得到系统的一个ARR。消除未知变量的方法是根据键合图模型的因果关系进行推导，将未知变量用已知变量进行表示；

3）对下一个节点采用第二步中的方法生成ARR；

4）如果提取的ARR与之前生成ARR是线性无关的，则保留。若线性相关则去除，不予以考虑；

5）重复上述步骤，直到键合图模型所有的节点都进行了上述分析，则获取了系统的相互独立的ARRs。

3.3 故障特征矩阵

对ARRs进行分析需要对残差进行评估。在多数情况下，ARRs的表达式中多含有传感器测量信号，因此，在对残差进行评估前一般需要通过适当的过滤器进行预处理。残差的获得是通过将参数值以及测量值代入ARR表达式所得的数值，即

当某个残差的表达式中包含了系统部件的参数，就可认为该残差对某部件是可诊断的。当系统无故障时，每一个计算的残差都应该与系统那个的行为相一致，即残差的绝对值应该始终在一个比较小的阀值εi之内。假设系统有m个ARRs，则可得到用于故障诊断与隔离的二进制形式的向量其中，ci由如下所示的判断依据获得：

当系统正常运行时，向量C应该为零。当系统发生故障时，向量C的一个或多个值变为非零。在获得系统的m个ARRs后，可生成系统的故障特征矩阵（Fault Signature Matrix，FSM），用来判断故障候选集并隔离故障源。表1所示为一典型的故障特征矩阵，其中r1，r2，…，rm为系统各残差，θ1，θ2，…，θp表示系统各设备对应的参数，Db和Ib隔分别表示设备故障诊断的可诊断性和故障可隔离性。矩阵中的每个元素定义如下：

表1 故障特征矩阵FSM

4 应用

图2 两容水箱系统图

图2所示为一个两容水箱系统结构示意图，系统有两个水箱T1和T2，两个阀V1和V2分别用来控制两水箱之间的通断以及水箱T2的泄放，水泵以Qp的流量给水箱T1供水。

图3 两容水箱系统键合图模型

图3所示为两容水箱系统键合图模型，图中的四个传感器 De1、De2、Df1和 Df2为本文的研究对象，因为是虚拟的传感器，因此采用虚线表示。在不考虑传感器与执行器的故障的情况下，问题简化为在上述四个传感器中选择数量最少的传感器组合，以实现水箱T1和T2，阀V1和V2的故障诊断与隔离。

在系统键合图模型的基础上，选择与传感器相连接的节点推导ARR，得到系统的一组线性无关的ARRs，并进行系统故障可诊断性分析，定义：

则根据01节点的约束方程有

式中：s为拉普拉斯变换。对于11、02和12节点分别有

根据各节点的约束方程，可以推导出系统的所有可能的ARRs为

对于[x1x2y1y2]1=[1 1 0 1]1的传感器布置方式，系统ARRs为

其对应的特征故障矩阵如表2所示，Mb和Ib分别表示部件的故障可检测性和故障可隔离性。从表2可以看出，四个部件均有残差与之对应，并且其组合都是线性无关的，因此采用该传感器配置方法可以实现各部件的故障诊断与隔离。

表2 ［1101]1传感器布置系统故障特征矩阵

对于[x1x2y1y2]1=[1 0 1 1]1的传感器布置方式，系统ARRs为：

其对应的特征故障矩阵如表3所示，从表中可以看出系统中各部件的故障都是可检测和可隔离的。

表3 ［1011]1传感器布置系统故障特征矩阵

基于式（14）的系统ARRs表达式，通过对不同传感器配置方案的系统特征故障矩阵进行分析，由表4给出了所有两个和三个传感器的配置方案以及其部件的故障诊断特性。从表中可以看出，只有两种三传感器的配置方案是满足要求的，从而可以得到系统的最优传感器配置方案。

表4 各传感器布置方案系统诊断特性

5 结语

本文主要研究了基于键合图模型的解析冗余关系法在系统传感器布局中的应用，并以两容水箱为例，设计建立了两容水箱的系统键合图模型，利用键合图模型推导系统ARRs，建立了系统故障特征矩阵，得到在满足系统主要部件故障可隔离条件下的传感器最优布局方法。