基于极小曲面造型结构的设计应用研究

王妍 李卓

摘要：通过研究极小曲面的造型结构在多个类别设计下的应用，为其进一步的发展和实践提供启发和借鉴。从建立极小曲面的数字方法和物理方法提出极小曲面造型结构设计的实现基础。进一步选取应用案例进行分析论证其可行性，并从两大类、五个不同的角度就其应用前景展开讨论。在计算机数字技术背景的支持下、参数化设计手段的实现和辅助下、3D物理打印技术的保障下极小曲面可以突破自身复杂数学原理属性的局限性，在设计创新和设计导向方面均体现出重要的应用价值和发展前景。

关键词：极小曲面 GAGD 3D打印 Grasshopper

中图分类号：TB47文献标识码：A

文章编号：1003-0069（2019）09-0029-03

引言

极小曲面是一类非常重要的数学曲面，自1774年拉格朗日（Lagrange）最早提出极小曲面方程以来一直作为几何学中一个重要的研究方向，得到了众多学者的研究。近年来随着计算机技术的日益发展，使得极小曲面造型结构设计可以进一步突破数学公式理论的局限性以应用到更多领域的设计产物之中。通过各行各业设计实践案例的分析和延展，对于极小曲面优美变幻的造型和优良的数理物理属性所蕴藏的巨大应用潜能提出了新的思考。

一、极小曲面概述

（一）极小曲面是一个古老而有趣的研究课题，也是一类非常重要的曲面。在经典的微分几何理论中，极小曲面是指插值给定边界曲线的面积最小的曲面，其平均曲率处处为O圆。极小曲面是微分几1可领域中的一类重要的特殊曲面。

从经典的普拉托实验了解到将金属丝闭合成无缺口的封闭曲线，放入肥皂水溶液中后取出，在金属丝的表面可以看到源于表面张力作用所形成的表面积最小的薄膜，如图1。在数学上将这种表面积最小的膜称为极小曲面。

极小曲面可能在科学和工程应用领域都富有研究潜力，因此长久以来一直是很多学者研究的课题之一。Euler早在1744年就曾提出过类似极小曲面的问题，但通常认为，最早分析讨论极小曲面问题的是Lagrange。他利用变分的方法将一个非线性的优化问题转化为了一个偏微分方程问题，并由此得到了一个二阶椭圆偏微分方程。之后，几何学家J.B.Meusnier于1776年给出了极小曲面方程的几何解释，即曲面上每点的平均曲率均为0。继往开来，在后续的两百多年间极小曲面学者普遍开展了广泛而深刻的理论探究和数学实证，在代数学、几何学、泛函数、拓扑理论、物理学、生物学等多个学科中均有与之相关的研究，且在数学和计算机图形学上均取得了成果性进展，为其进一步应用于广大实践型行业打下了极为重要的理论依据和科学基础。

（二）性质特征。

1.优美有趣的造型。极小曲面通常有着丰富而优美的造型，因公式回环所形成的孔洞给人们带来强烈的视觉感受和灵活多变的趣味体验。不仅单体形态丰富、观察角度多样，其组合形式也多种多样，组合效果千变万化。集聚式的组合模型具有强大的造型潜力，如图2。

2.牢固稳定的结构。极小曲面在数学公式推导背景的基础下其平均曲率处处为O，这样的曲面具有能量稳定、势能最小、受力条件下载荷分布均匀的优良数理性质，使其在丰富造型的同时还因具有的优秀力学结构性能而受到了越来越多譬如分子晶体、仿生科技、材料加工、机械制造、轮船设計、环境建筑、航空航天等行业领域的关注和青睐，如图3。

二、极小曲面造型结构设计的实现基础

（一）实现极小曲面造型结构的数字方法。

1.计算机辅助几何设计的进步。在金文标，汪国昭的论文中首次把极小曲面引入计算机辅助几何设计领域（CAGD）以来，极小曲面造型问题得到了众多研究学者的关注，在实际工程领域的生产实践中具有巨大意义。CAGD主要侧重于计算机设计和制造（CAD/CAM）的数学理论和几何体的构造方面，其应用于极小曲面造型的方法有两类：一类是逼近求解，另一类是精确表示。一般工业设计以及建筑设计领域中并不需要十分精确的数学意义上的极小曲面，近似求解得到的极小曲面便可以满足设计者的要求，所以极小曲面的逼近算法的研究便获得了很多CAGD学者的重视，诞生出一系列可依据可参照的方式方法。

2.参数化设计的实现。极小曲面的建模可以通过复杂地使用Rhinoceros+Grasshopper来实现。该平台具有编程化、逻辑化、可视化、动态化等优势优点，并且以编程基础可兼容多方面功能插件，是近年来参数化设计领域一重要数字模型生成平台，其以卓越的编程软件基础和对于强大处理插件的包容性为极小曲面的参数化视觉表示提供了帮助。它打破了传统极小曲面数字建模以图面推演手工仿制的设计思维模式，创造性地将极小曲面数学逻辑结构直接介入设计可视化过程，使得上下游技术人员都可参与到这一以开放、协作为思想基础的开放式设计之中，缩短了周期，促进了最终结果的优化生成。目前Grasshopper参数化软件平台上已经研发出了成熟工具可以辅助设计师进行数学公式对应下的极小曲面视觉化处理，配合Rhinoceros建模软件主体可以进一步完成计算机建形、找形、变形的功能，结合产品设计要求完成精度高、完整性好的设计产品，这对于极小曲面的实际应用有着巨大的现实意义，如图4。

（二）实现极小曲面造型结构的物理方法。极小曲面设计产品均具有曲面连续性强、曲率变化明显、中空结构居多等特点，一些复杂形体还具有表皮镂空的处理，应用一般产品加工方式很难进行加工。而3D打印技术的日益成熟在材料、尺寸、精度、可靠性方面不断取得进步，加工方法灵活多变。3D打印材料来源多种多样且在进一步拓展，其结合多种塑料、金属等材料的液态、粉状、线制等状态进行加工，采用片层增叠的方法一体式完美呈现复杂形态作品，减少了材料的消耗和产品装配间的容错差值，完成度甚至可媲美古代“失蜡法”技术的复杂效果，为极小曲面产品的实践落地和设计反思提供了技术保障，如图5。

三、极小曲面造型结构设计的应用案例与前景展望

（一）以赋能造型为指引的应用案例与前景展望。

1.流动造型的规律引导。基于极小曲面造型流动变化的丰富性和可塑性，产品设计在摆脱传统几何形态束缚的前提下开始尝试发掘这一美妙形体赋形功能的审美特质，利用产品本身的流动形态属性与目标产品的功能属性相适应，创造性的赋予形态以新的指导，并将其连同用户需求、情感表现等因素有机地结合起来，诞生出既优化了产品功能属性又满足了用户审美、使用、个性等要求的优秀作品。

以Gyroid Zonohedron极小曲面灯具为例。其通过极小曲面本身形态的规律流动使得光线可以充分且均匀地进行扩散，在满足照明功能的同时，与情感需求、人机需求三者有机而合理地结合在一起，成为一件众多设计师所追求的优良设计。似与Poul Henningsen的“PH”系列灯具有异曲同工之妙，它以Gyroid极小曲面为原型的设计本质充分运用了形态褶皱的流动性和韵律感，以规律变化赋能造型的方式既满足了自然扩散、反射光线的需要，又以其本身独特的造型形态为用户带来别致的场景体验和心理感受，使得产品形态、功能和环境有机的结合起来，如图6。

上述案例是对于极小曲面形态的—次有趣尝试，也客观反映出这一形式超过视觉复杂享受之外的功能性潜能。极小曲面的多孔结构并不是无意识的，其对于空间流动管理的背后闪耀着科学的光亮：空间内介质的流动、循环与交换促成了一系列反应作用，而空间形态的引导在这个应用机理中起到了决定性作用。似与灯具结构对于光线的规律引导实现了漫反射柔光有相似的应用机理，其他介质如水、空气等也可以通过极小曲面结构，实现单位时间内有效接触面积最大的渗透性、吸附性及其他实用目的，有关极小曲面流动造型规律引导方面的探索还存在着更多的发展空间。

2.有机造型的空间体验。极小曲面有机未来的造型以及空间的流动属性，激发了众多设计师们探索的热情。MINIMAIMAXIMA空间装置在2017年世博会上首次展出，它以有机未来的造型吸引了许多游客驻足观看并亲身体验。从游玩参观的旁观者到置身其中亲身感受的主人公，它扭转美妙的形式结构将人们带入了一个奇幻世界，在那里人们感受到了探索视觉漫游的乐趣和冲动。进入它就好像被运送到一个奇异的未来，一个科幻小说世界中，当人将身体依靠在基座的褶皱内，让身体曲线形状与结构本身相匹配时，注意力将会从现实世界中转移开来，并在内部感受到一种身心的融合，这样独特的空间体验感也正是极小曲面有机造型本身所拥有的神秘魅力。另外，这个装置通过0.6mm超薄、自我支持的铝板以极小曲面表面积最小的薄膜原理完成搭建，减少了材料的消耗，消除了对柱子和横梁的需求，如图7。

如上述案例中展现的那样，极小曲面有机未来的造型不仅带给了人们奇幻的视觉体验，更与人本身建立起美妙亲切的心理联系。这样的非物理功能并不是极小曲面造型形态偶然闪现的可能魅力，这源于极小曲面背后数学逻辑本质蕴藏在自然规律、自然表达中的紧密联系。肥皂泡的实验即可说明极小曲面本身即来源于自然，有着天然有机的生物、物理属性且与自然的相适性极高。在生态环境问题日益严峻的当今社会，极小曲面的作品—方面在建造耗材上具有更加高效的潜质，另—方面来源于自然的形象或许也可为生态文明建设注入新的心理层面的潜在影响。

3.生物适配的医学应用。极小曲面的天然本质与良好的生物适配性在医学治疗领域也具有应用空间。极小曲面开放式的多孔有机结构具有为细胞提供活动空间的同时又保持了良好的力学性能的优势，在人类一些组织器官，如骨剖面的微观多孔结构中与其具有相似性。这样的结构可为部分医学药物、种子细胞等提供吸附和物质交换的场所，通过对于空间边界的限制建模可以创造出具有极高应用价值的医学方案模型。利用这一特质也为异性支架、靶向治疗等医学治疗领域提供了新的思路。

（二）以力型结构为向导的应用案例与前景展望。

1.力学结构的情感化表现。极小曲面作为同时拥有优美形态和优质性能的一类曲面，一直以来广受建筑设计师的青睐，这与建筑设计通常需要设计师同时具备良好的艺术美感和工程力学知识有着密不-可分的关系。极小曲面实际多应用于局部索膜结构的表现之中，虽然充满表现张力，但并没有凸显出其真正的力学结构性能优势，直到伊东丰雄所设计的台中歌剧院才将这力与形的结合与统一感性的表达出来。

台中歌剧院作为极小曲面形态表达明确的一个代表，突破了一直以來极小曲面在建筑设计中作为膜结构的一强大找形工具的存在，创造性地将极小曲面形态和结构贯穿到整个设计之中，通过曲面载力凸显出极小曲面的力学优势，使其真正作为建筑主体而存在。设计师完整保留了极小曲面感性有机的空间特征，并依托极小曲面奇幻有趣的空间结构赋予其合理的布置和美的意义。它不仅以情感化的曲面立构作为主框架打破了传统几何框架的束缚，且其内部的孔洞特征模糊了空间的界限，以丰富曲面塑造了极为生动的情感力表现，使走入其中的人们产生一种独特奇妙的情感共鸣。“声音的涵洞”这一设计主题也将内容主体和情感形式完美地结合在了一起，表现出极小曲面不同于其他框架结构的情感化表现优势，如图8。

如上述案例所示，由于极小曲面兼有的力学结构和感性曲面特质使其相较于一般几何框架结构具有了更加丰富的情感化表现。这不仅是对现阶段个性、未来、有机等潮流形式的回应，也是极小曲面内部流动的空间于人在形式上的强烈吸引与情感共鸣。置于极小曲面所打造的情感化表达空间内，人们可以感受到自身与环境所建立起的联系，在空间的交错中遇见同伴，感受整个过程的新奇和有趣。极小曲面的空间中交互行为的发生随机自然且带有强烈的主动意识，这种突破常规线性几何的感性结构具有实际力学构建的基础，于建筑设计等空间艺术领域具有更多的开拓前景。

2.集聚状态的结构式应用。极小曲面在无边界条件的限制下可在空间内进行无限循环式的增长，这样的集聚式表现和分子晶体理论中的一些案例具有非常相似的生长模式和结构表现，且由于极小曲面同时具有的优秀力学性能，其集聚式状态在给定边界的情况下更具有多种用途的可能。

Futurecraft 4D跑鞋是adidas联合科技公司carbon 3D利用最新Digital Light Synthesis技术带来的一款革命性中底跑鞋，如图9。该跑鞋的核心中底技术正是依托于分子晶体理论原型和极小曲面的集聚构成形态进行研究和设计、利用光学4D打印技术进行实际生产的。通过运动仿生实验研究，人员抓取实验者在奔跑时的脚掌受力曲线与区域应力图，通过参数化技术的模拟干扰，对给定边界下的结构密度进行了调整，以更好地发挥结构效能。这种结构在受到冲击时可以为运动员提供良好的缓冲和及时回弹，创造了更加舒适的服务体验。这双跑鞋兼顾了科技、有机的未来式造型特点和良好的力学功能性，正应和了极小曲面集聚状态结构在造型和结构双重评价体系下的优势。

从上述案例中进一步延伸，极小曲面的集聚式组合方式具有密度低、力学性能好的优势特点，若以胞元体块的方式进行包覆和边界化处理，以材料单元的形式进行应用，理论上具有既可实现原有力学性能，又达到了轻量化目的的可能。目前以蜂窝轻量胞元的蜂窝铝材料得到了许多行业的实际应用，且取得了不错的效果，若以同样的设计构思将极小曲面作为研究对象探讨其集聚式结构在材料轻量化方向的发展，将在传统的建筑建材和其他工业制造领域有着非常重要的实际意义。

结语

目前极小曲面造型结构设计的应用一直处于探索状态，不少领域，诸如建筑、产品、服装、首饰、公共艺术等都对于极小曲面的实际应用开展了积极尝试。然而极小曲面奇特造型和优质结构的性质特点还存在着许多潜能有待人们去探寻，在未来，随着学科交流融合的进一步加深和生产制造技术的进一步升级促进，极小曲面的造型结构设计有望在个性定制、生物医疗、介质导向、空间布局、材料轻量等更多领域具有更加广阔的发展前景。