从参考系变换的角度讨论摩擦力的功

乔国健 刘鑫岩 戴 瑞 于海波

(东北师范大学物理学院,吉林 长春 130024)

1 引言

摩擦力做功和人们的生活密切相关,也是中学物理教学内容的重点以及难点,学生在分析一个摩擦力做功时存在很多困惑,有时不能准确的分析出一个摩擦力是做正功、负功还是不做功. 针对学生在学习摩擦力做功遇到的困难,本文从功的定义出发探讨一对摩擦力做功的和,使学生清楚一对摩擦力做功之和与能量转换相关联,希望学生不但会做题更要清楚摩擦力做功的物理本质,其有助于学生物理观念的培养,并结合生活中常见实例,从参考系变换的角度讨论一个摩擦力做功. 虽然对于基础教育和高考而言,一般中学教学均默认地面参考系,不会涉及其它参考系及参考系变换问题,但其它参考系和参考系变换在日常生活中是真实存在的,中学生对其也存在一定的感知,让学生了解从参考系变换的角度分析摩擦力的功,可以拓展学生分析问题的思路,培养学生的科学思维. 最后通过一道典型例题分析,进一步阐明本文的观点.

2 一个力做功与一对相互作用力做功之和在参考系变换下的讨论

2.1 一个力做功在参考系变换下是非协变的

如图1所示,用r表示质点i在参考系O-xyz(O系)中的位置矢量,r0表示参考系O′-x′y′z′(O′系)的坐标原点O′在O系中的位置矢量(t=0时两坐标原点O′与O重合),r′表示质点i在O′系中的位置矢量,则r=r′+r0.若质点i在力f的作用下在O系中发生的小位移为dr,则力f在O系和O′系中对质点i做的元功可分别表示为

δw=f·dr.

(1)

δw′=f·dr′=f·dr-f·dr0=δw-f·dr0.

(2)

由(1) 式和(2) 式积分可得,一个力的功在两个参考系中的表达式不同,所以一个力的功在参考系变换下是非协变的,即,一个力的功与参考系的选择有关.

图1 参考系变换

2.2 一对相互作用力做功之和在参考系变换下是协变的,与能量转换相关联

如图2所示,质点i和质点j在O系(O′系)中的位置矢量分别为ri(ri′)和rj(rj′),用fij(fij′)和fji(fji′)分别表示质点i对j和质点j对i的作用力,这对相互作用力在O系和O′系中的元功之和分别表示为:

δwij=fij·drj+fji·dri=fij·d(rj-ri)=fij·drij.

(3)

(4)

由(3)式和(4)式积分可得,一对相互作用力做功之和在两个参考系中的表达式相同,即一对相互作用力做功之和在参考系变换下是协变的. 与此同时,一对相互作用力做功之和与不同形式的能量转换相关联,由动能定理推导可知,一对保守内力做功之和改变体系的势能,一对非保守内力做功之和改变体系的动能. 所以讨论一对相互作用力做功之和与能量转换相关联,用一对相互作用力做功之和讨论问题更接近物理的本质.

图2

2.2.1 一对静摩擦力做功之和

若在摩擦力的作用下两质点间未发生相对位移,两质点间的摩擦力为静摩擦力,这对静摩擦力做功之和为0. 尽管这对静摩擦力不做功,不改变体系的机械能,但由于这对相互作用的静摩擦力分别作用在两个物体上,所以这对静摩擦力做功之和使体系的动能和势能相互转化.

2.2.2 一对滑动摩擦力做功之和

若在摩擦力的作用下两个质点间发生了相对位移(位移与力不垂直)时,两质点间的摩擦力为滑动摩擦力,由于摩擦力的方向总是与相对运动的趋势相反,所以这对滑动摩擦力做功之和为小于0,做负功. 一对摩擦力又为非保守内力,其做功改变体系的动能,将动能转换为热能(摩擦生热),体系的机械能减小,而这种摩擦生热的过程是不可逆的,生成热量的多少也与参考系的选择无关.

3 从参考系变换角度讨论一个摩擦力的功

由前面讨论可知,一个力做功和参考系的选取有关,在不限定参考系的前提下讨论一个力的功是没有意义的,下面结合生活中实例,从参考系变换的角度讨论不同参考系中一个摩擦力的功.

3.1 一个静摩擦力的功

例1.如图3所示,手握着瓶子或向下运动(图3a),或向上运动(图3b),或沿水平方向向右运动(图3c),瓶子与手之间不发生相对运动,瓶子与手之间的摩擦力为静摩擦力,瓶子受到的静摩擦力f的方向是竖直向上的. 试讨论上述3种运动情况下静摩擦力对瓶子做的功.

(1) 以瓶子为参考系(O系,竖直方向为y轴,水平方向为x轴)

在O系中,因为瓶子的位移为0,所以3种运动情况下静摩擦力对瓶子做功都为0,即W=0.

(2) 以地面为参考系(O′系,竖直方向为y′轴,水平方向为x′轴)

从参考系变换的角度讨论上述3种运动情况下在地面参考系(O′系)中静摩擦力对瓶子做的功. 对(2) 式求积分,W′=W-fy0,因为W=0,所以W′=-(fy0).

① 当手握着瓶子向下运动时(图3a),O′系相对于O系的运动方向向上,位移y0与f方向相同,所以W′<0,静摩擦力对瓶子做负功.

② 当手握着瓶子向上运动时(图3b),O′系相对于O系的运动方向向下,位移y0与f方向相反,所以W′>0,静摩擦力对瓶子做正功.

③ 当手握着瓶子沿水平方向向右动时(图3c),O′系相对于O系的运动方向沿水平方向向左,位移x0与f方向垂直,W′=0,静摩擦力对瓶子不做功.

(a)

(b)

(c)

3.2 一个滑动摩擦力的功

例2.汽车刹车时,如果车轮抱死,不能滚动,此时车轮与地面之间为滑动摩擦力,车轮所受滑动摩擦力f方向沿刹车时汽车运动的反方向. 试讨论滑动摩擦力对汽车车轮做的功.

(1) 以车轮为参考系(O系,汽车运动方向为x轴)

在O系中,因为车轮的位移为0,所以滑动摩擦力对汽车车轮不做功W=0.

(2) 以地面为参考系(O′系,汽车运动方向为x′轴)

从参考系变换的角度讨论在地面参考系(O′系)中滑动摩擦力对汽车车轮做的功. 对(2)式求积分,W′=W-fx0=-fx0.O′系相对于O系的运动方向沿刹车时汽车运动的反方向,x0与f方向相同,所以W′<0,此时在地面参考系(O′系)中滑动摩擦力对汽车车轮做负功.

4 典型例题分析

图4 木块有传送带上滑动的示意图

如图4所示,传送带AB的长为L=2 m,皮带沿图示方向以v=2 m/s的速率运动,现将一质量为m=1 kg的小木块轻放在传送带的A点处,物块与传送带间的摩擦系数μ=0.25,g=10 m/s2.求小木块由静止达到与传送带共速时摩擦力对小木块所做的功、摩擦力对传送带所做的功,以及摩擦力所产生的热量.

解析:达到共速前小木块与传送带间的摩擦力为滑动摩擦力,其大小为

f=μmg=0.25×1 kg×10 m/s2=2.5 N.

木块的加速度为

达到共速的时间为

分别以传送带为参考系(O系)和以地面为参考系(O′系)讨论摩擦力对小木块做的功、摩擦力对传送带做的功,以及摩擦力产生的热量.

(1) 以传送带为参考系(O系,水平方向为轴x)

木块的位移为

2.5 m/s2×(0.8 s)2=-0.8 m.

传送带的位移为

x2=0.

小木块所受的滑动摩擦力方向与其运动方向相反,滑动摩擦力对小木块做的功为

W1=fx1=(2.5 N)×(-0.8 m)=-2 J.

传送带所受的滑动摩擦力对传送带做的功为

W2=0

摩擦力产生的热量为

Q=W1+W2=-2 J.

(2) 以地面为参考系(O′系,水平方向为x′轴)

从参考系变换的角度讨论在地面参考系(O′系)中滑动摩擦力对小木块和对传送带的功.O′相对于O系的运动方向沿水平方向向左(x0=-v0t=-1.6 m),小木块所受滑动摩擦力方向向右,所以小木块所受滑动摩擦力方向与x0方向相反.

滑动摩擦力对小木块做的功为

W1′=W1-fx0=-2 J-(2.5 N)×

(-1.6 m)=2 J.

传送带所受滑动摩擦力方向与x0方向相同,滑动摩擦力对传送带做的功为

W2′=W2-fx0=0-(2.5 N)×(-1.6 m)=-4 J.

摩擦力产生的热量为

Q′=W1′+W2′=-2 J.

显然在不同参考系O系和O′系中,小木块所受滑动摩擦力对其做的功不同(W1≠W1′),传送带所受滑动摩擦力对其做的功也不同(W2≠W2′),但在O系和O′系中一对摩擦力产生的热量是相同的(Q=Q′),从机械能增量ΔE=Q<0角度分析,摩擦力为耗散力,即一对摩擦力做功之和与能量转换相关联,所以分析一对摩擦力做功更有意义,更接近物理的本质.

5 结论

由上述讨论可知,一个摩擦力的功与参考系的选择有关,在讨论一个摩擦力做功时,首先要明确在哪个参考系中讨论. 在某些情况下可以从参考系变换角度讨论在不同参考系中一个摩擦力的功,例如,通常会选取运动物体本身为一个参考系(O系)分析一个摩擦力的功(有可能为0),再选择地面为另外一个参考系(O′系)分析这个摩擦力的功,拓展学生思考问题的思路,培养学生的科学思维. 而一对摩擦力做功之和与参考系的选择无关,与能量转换相关联,用一对摩擦力做功之和分析问题更接近物理的本质,其研究更有物理意义,有助于学生物理观念的形成,更应受到教师和学生的关注.