对一道高考题的解法探究与思考

李坤丽 胡典顺

一题多解是提高数学解题能力的有效途径。在一题多解中，通过典型问题呈现不同解法的同时，回顾与综合不同的知识点与不同的数学思想方法，灵活应用数学知识，充分暴露思维过程，真正提升能力，培养数学素养。三角函数作为中学数学中很重要的一个知识点，是历年高考必涉及的，题目一般具有基础性，本质性强的特点。2019年高考全国Ⅰ卷第17题是一道综合利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差公式以及正余弦公式、同角三角函数关系的应用，题目本身难度不大但卻能很好地考查学生对知识的熟练程度和理解程度，学生的解答能较好反应其真实素养水平。

原题：（2019年高考全国Ⅰ卷第17题）. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 .

（1）求A；

（2）若 ，求sinC.

题目解析：本题考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形的问题，涉及到两角和差公式以及正余弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正余弦定理进行边和角的相互转化并利用边角关系式进行化简，得到对应所求的角之间的关系。对于第一问基本没有设置障碍，属于送分题，直接利用正弦定理化简已知边角关系式可得： ，从而得 ，再由余弦定理和 即可直接求解出答案。对于第二问由题目已知条件利用正弦定理很容易得出结论，但是在具体求解中会存在一定的障碍，本题作为数学试卷的第一个答题，知识的掌握和解题的熟练度对学生的心态和最终考核结果有很重要的作用。而本题从多角度给予了学生思考和解答的空间，不仅可以考查学生的知识掌握程度，还可以综合考查学生对数学知识的理解程度和综合利用数学知识的数学意识.方法并不唯一，视角开阔，综合考查数学素养，彰显了“立德树人”的目标导向，同时也是评价体系转变的一个良好实例。

（2）思路一：利用两角和差公式进行求解

方法1：由（1）知 ， ，由题知 ，依据正弦定理可得： 整理得 ，即 ， ，所以 ， .

方法2：由（1）知 ， ，由题知 ，依据正弦定理得： ，

整理得 ， ， ，所以 ，可得 .

所以 .

方法3：由 ，得： 即 ，

得： ，

所以 .

点评：利用正余弦定理对三角形求解属于常规题，对于本题其涉及的一个难点在于题目中所给出的角具有一定的特殊性，需要学生能够活学或用，灵活处理所给式子。解题过程能很好地反映出学生对该知识点理解掌的程度以及数学运用能力，达到测试的目的.

（2）思路二：利用三角形三角直接的关系进行求解

方法4：已知 ， ， ， ，

得 ， ， ，因 所以 ，故 .

方法5：由已知依据正弦定理得： ，

整理得 ，两边平方整理得： ， ， ，所以 ， .得 .

方法6：由题知 ，即 ，根据射影定理知 ，由（1）知角 ，所以 ， ， .

点评：因为整个解题里只涉及到三角形的三个角和边，学生会自然联想到边角关系进行求解，且第一问为第二问做了一定得铺垫，学生容易捕获解题的信息点。这一做法思路较流畅，属于顺势而上的直线型思维，能很好地考查学生对知识的掌握程度。

（2）思路三：利用正余弦定理直接进行求解

方法7：由题知 （1）， ，即 （2）由两式联立得：将（2）式代入（1）式消去c整理得： ， ，将其带入（1）可得 ，由正弦定理： ， ， ， ，从而 ，同法4 ，故 .

方法8：步骤同一： ，由正弦定理：， ， ， ，得 .同理 ，故 .

结束语：

考场上学生容易紧张，出现稍需要技巧处理的题很容易慌张，但如能把握住运算的本质，还是可以拿到相应的分数。上述三种方法中第三种思路相对于前两种思路更清晰，两个未知数两个方程，直接对相应边角进行求解，但计算过程相对而言较前两者复杂，需要学生具备良好的计算能力和耐心细心的心理素质。三种思路均可以从不同层次对考生的数学素养进行考查，在知识考查中更切实地考查学生灵活应用数学知识的能力，充分暴露其思维过程，真正体现能力，展现数学素养水平。

作者简介：

李坤丽（1993-），女，汉，陕西，在读硕士，硕士，华中师范大学，课程与教学论，430079。