k-幂零矩阵Jordan标准形的计数

陈建达 王萍 张璐

摘 要：幂零矩阵作为一种特殊矩阵，具有很好的性质，这些性质使得幂零矩阵在密码学、构造认证码及安全性等方面应用非常广泛。首先针对n阶4-幂零矩阵的Jordan标准形的计数问题进行研究，通过对整数n的有序拆分方法，得到n阶4-幂零矩阵Jordan标准形的计数公式;其次讨论了当秩给定时的所有4-幂零矩阵，给出它的Jordan标准形的计数公式。最后针对k-幂零矩阵Jordan标准形的计数问题进行了研究，通过迭代的方法给出了n阶k-幂零矩阵的Jordan标准形的计数公式。

关键词：幂零矩阵;Jordan标准形;有序分拆

DOI：10.15938/j.jhust.2019.04.023

中图分类号： O151.21

文献标志码： A

文章编号： 1007-2683（2019）04-0139-04

Abstract：As a kind of special matrices， the nilpotent matrices has good properties. In this paper， we mainly discuss the enumeration problem of the Jordan′s normal form of 4-nilpotent matrix. We get conclusions including the calculation formulas of the Jordan′s normal form of 4-nilpotent matrix and calculation formulas of the Jordan′s normal form of 4-nilpotent matrix with constant is presented. Then， We have the calculation formulas of Jordan′s normal form of n×n k-nilpotent matrix by iteration.

Keywords：Nilpotent matrix; Jordan′s normal form; ordered partitions

0 引言

自从1964年Give′on引入格上的幂零矩阵以来，就有大量的文献在不同的代数结构研究了幂零矩阵的性质[1]。1982年，Hashimoto[2]研究了幂零模糊矩阵（即Fuzzy代数上的幂零矩阵）简化的一些性质。2001年Zhang[3]给出D01-格矩阵A为零幂矩阵的必要且充分的条件。2005年，Tan[4]又将这些性质推广到分配格上，并且证明了分配格上任意一个幂零矩阵A的简化的传递闭包等于A本身的传递闭包。而Han等[5]在2005年又将Tan中的结论推广到斜坡上，得到了incline上n阶幂零矩阵的幂零指标为n的一个充分且必要条件。2008年周惊雷和李庆国探讨了incline上n阶幂零矩阵幂零指标的特征，得到了incline上n阶幂零矩阵的幂零指标为n的一个充分必要条件[6]。2009年官明友和谭宜家考虑一般加法幂等交换半环上幂零矩阵的传递闭包与简化，并将文[5]的结果推广到一般加法幂等交换半环上[7]。2001年李殿龙和隋思涟证明了一般数域上的2-幂零矩阵秩的取值范围，同时也证明了2-幂零矩阵存在Jordan标准形，并给出了2-幂零矩阵Jordan标准形的明确表示[8]。2006年林荣珍和江飞在李殿龙和隋思涟研究的基础上，讨论了一般数域上的3-幂零矩阵的相似等价类的个数问题，得到了它的计算公式和秩一定时的计算公式以及n阶3-幂零矩阵秩的范围[9]。2013年曾月迪和林丽芳利用不同于林荣珍和江飞的方法得到了n阶3-幂零矩阵的秩的取值范围，并给出了几种表示方法和秩一定时的3-幂零矩阵Jordan标准形的个数[10]。幂零矩阵Jordan标准形问题在理论密码学、认证码理论[11-13]及安全性、子群的结构[14-16]等问题中有广泛的应用。

参 考 文 献：

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（编辑：王 萍）