数学思想方法在二次函数中的应用

庄梅芳

(福建省晋江市南湾中学 福建 晋江 362200)

1.分类讨论思想在二次函数中的应用

分类讨论思想是一种重要的数学思想，在解决二次函数问题时经常用到。许多二次函数问题，往往在相同的题设下，会产生几种不同的结果，这就需要借助于分类讨论思想按照同一标准，确定分类对象，把可能存在的一切情况都列举出来，一一加以研究，然后进行归纳，合并，综合得出结论。

例1，已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)，它与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，试求S△AoC+S△BoC

解：设A(x1,0)，B(x2,0)则x1，x2就是二次方程ax2+bx+c=0的两个实根。

而OA=|x1|,OB=|x2|, 又由x=0时，y=c得OC=|c|

已知a>0，下面就c的不同符号分别计算S△AoC+S△BOC的值

(1)当c=0时，显然有S△AoC+S△B0C=0

(2)当c>0时，x1和x2同号

i)若x1和x2都为正数，则b<0，

ii)若x1和x2都为负数，则b>0

(3)当c<0时，x1和x2异号，不防设x1>0，x2<0,则

OC=|c|=-c

2.转化思想在二次函数中的应用

转化思想是一种最基本的数学思想，是解决二次函数问题不可忽视的方法。二次函数的问题一般都是综合性很强的题目，如何把复杂的问题向简单的问题转化，是解题成败的关键所在。转化思想在二次函数中运用的思想一般是把生活、生产、科研中的实际问题通过建立数学模型转化为数学问题；把几何问题转化为函数问题；把位置关系转化为数量关系；把非常规问题转化为常规问题，最终实现未知向已知的转化，从而使问题得到解决。

(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式;

(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由。

解：(1)设导弹运行轨道的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，由题意知，这条抛物线的顶点坐标为E(4，3)

(2)设C点的坐标为(xo，yo)，过C作CB⊥0X垂足为B,在Rt△OBC和Rt△ABC中，OA=1，

3.方程思想在二次函数中的应用

方程思想是一种广泛应用的数学思想，是解决二次函数问题的一个有力工具。在二次函数问题中，或多或少存在着等量关系，我们经常把所研究的二次函数问题中的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，通过解方程或方程组，实观未知向已知的转化。可见，方程思想方法，对解决二次函数问题，作用十分重大。如待定系数法求二次函数解析式，求解几何图形中的函数关系，求二次函数与其他图形的交点问题等，都离不开方程思想。

例3已知二次函数y=x2+bx+a(b<0)的图像与y轴交于点P(0,3)，与x轴交于A、B两点，且AB=2

(1)求bc的值，并写出这个函数的解析式；

(2)过P点作x轴的平行线，求这条平行线被二次函数图像所截得的线段的长；

(3)求△PAB的面积；

解：(1)∵P(0,3)在图像上，将其坐标值代入y=x2+ bx+c(b

即得c=3设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1、x2是方程x2+bx+3=0的根。

∵AB=2,即|x1-x2|

∵b<0, ∴ b=-4

∴所求的解析式为y=x2-4x+3

(2)设过P且平行于x轴的直线与图像的另一交点为Q，则P、Q的坐标就是下面方程组的解：

4.数形结合思想在二次函数中的应用

数形结合思想是一种典型的数学思想，是研究二次函数问题离不开的思想方法。数学是以现实世界中的空间形式与数量关系为研究对象，即数学是研究数、形及其关系的一门科学。在建立直角坐标系后，平面上的点就可以用坐标来表示，进一步又可建立平面上曲线与方程间的联系，这就使数与形结合起来，二次函数问题正是这种思想的充分体现，使数和形的结合达到了一个新的境地。在二次函数问题中，我们通过图形形象直观地表示出抽象的数量关系，即利用形来研究数，另一方面，通过数量计算准确地表示出图形的性质即利用数来研究形。数形结合思想的运用，是验证二次函数解题能力和创造性的有力根据。