例析极化恒等式在解题中的妙用

■湖北省襄阳市第一中学 王 勇(特级教师、正高级教师)

极化恒等式：对于平面向量a，b，通过恒等变形可得在△ABC中，若设是B C的中点，则再经过几何延伸，如图1所示，由此可知极化恒等式可将平面向量的数量积关系转化为两个平面向量的长度关系，使不可度量的向量数量积关系转化为可度量、可计算的数量关系，其意义非同凡响。下面举例说明极化恒等式在解题中的妙用，旨在探索题型规律，揭示解题方法。

图1

一、解决平面向量的数量积问题

1.巧求数量积的值。

例1(2018年黄冈市模拟题)已知过点A(0，1)，且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1相交于M，N两点，则

图2

解析：如图2所示，取MN的中点G，连接C G，CM，C A，则C G⊥MN。

点评：本题A，M，N三点共线，极化恒等式仍适用。借助垂径定理、勾股定理及两点间的距离公式即可得解。

2.界定数量积的取值范围。

例2(2018年湖北省八校联考题)已知A B是半圆O的直径，A B=2，等边三角形O C D的顶点C、D在半圆弧上，且C D∥A B，P是半圆弧上的动点，则的取值范围是( )。

图3

解析：如图3，取线段C D的中点M，连接PM。由极化恒 等 式，得注意到，A B是半圆O的直径，A B=2，△O C D是等边三角形，O C=O D=C D=1，所以，所以

如图3，连接OM并延长交半圆弧于N，连接BM，易知

因为P是半圆弧上的动点，当点P运动到N点时，线段PM的长度最小，其最小值等于线段MN的长度；当点P运动到B点时，线段PM的长度最大，其最大值等于线段BM的长度。

3.探求数量积的最值。

例3(2018年宜昌市调考题)如图4，在半径为1的扇形A O B中，∠A O B=60°，C为弧上的动点，弦A B与半径O C交于点P，则的最小值为

图4

解析：如图5，取O B的中点M，连接PM。

图5

当点C在弧上运动时，点P在弦A B上运动，过点M作MD⊥A B于D，则

在△A O B中，∠A O B=60°，O A=O B=1，且M为线段O B的中点，易知|MD|=

二、解决平面向量模的问题

例4(2018年浙江省五校联考题)平面向量a，b满足：a·b=4，|a-b|=3，则|a|的最大值是

解析：如图6，令，线段A B的中点是M，由|a-b|=3得

图6

由极化恒等式，得a·b=，解得

故|a|的最大值是4。

三、解决平面向量综合性问题

例5(2018年浙江省五校联考题)在长方体ABC D-A1B1C1D1中，A B=2，A D=4，A A1=4，O为对角线A C1的中点，过O的直线与长方体表面交于M，N两点，P为长方体表面上的动点，则的取值范围是

解析：由极化恒等式，得由已知条件可得