基于课程标准的复习课教学设计与诠释

孙秀云　姜静

摘 要：为了探索初中数学复习课教学的有效操作模式，提高课堂效率，本文以角的平分线复习课为例，从设计理念、实施流程、同伴评析三个层面进行探索.

关键词：课程标准;过程目标;结果目标;数学素养

基金项目：国家级“十三五”规划科研课题项目“初中数学复习课教学逻辑思维方法训练研究”（项目编号：P111-2016314）.

作者简介：孙秀云（1968-），女，山东即墨人，本科，中学高级教师，研究方向：中学数学教育教学理论和实践的研究;

姜静（1980-），女，吉林伊通人，本科，中学一级教师，研究方向：初中数学教学.

1 背景

作为一名教研员，每年组织开展主题教研活动是我们的必修课.但如何通过教研活动激发一线教师的参与热情，并从中收获却是我们着重思考的问题.课堂教学的基本课型大致分为概念教学、复习课教学、试卷讲评教学，于是我规划了2016-2017年主题教研活动围绕概念教学开展;2018-2019年主题教研活动围绕复习课教学开展，并且申请了国家级“十三五”规划科研课题——“初中数学复习课教学逻辑思维方法训练研究”.2018年5月29日，鸡西市教育学院开展系列主题教研活动之复习课教学，鸡西市第一中学姜静老师的一节“角的平分线复习课”受到与会老师和领导的普遍好评，下面基于这节课的教学设计结合与会老师的现场研讨以及本人后期的所思所悟整理成文.

2 明确目标

2011版义务教育数学课程标准对“角的平分线”要求是探索并证明角平分线的性质定理.定理具体内容是角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

不难发现，这里对“角平分线”的要求不是停留在“了解”和“理解”的层面，而是“探索并证明”，使用了两个描述过程目标的行为动词“探索”“证明”.一方面，“探索并证明”的要求比“对知识的含义有初步的、感性的认识”要高;另一方面，课程标准更重视对获取“角平分线”知识的过程要求.我们知道，描述结果目标的行为动词按要求程度由低到高分别是“了解”“理解”“掌握”“运用”;另一类描述过程目标的行为动词按要求程度由低到高分别是“经历”“体验”“探索”.上面的“证明”的表述是与“运用”这个行为动词具有同等水平的要求程度，它不是简单地会证明定理本身，而是达到“运用”的要求程度.更加突出了“角平分线”的实际应用，突出了“数学建模”的思想.所以说，课程标准对本节课的要求不仅同时兼顾结果目标和过程目标的实现，而且都是最高层次的目标.实现“证明”这个目标的途径要靠学生去“探索”.独立或与他人合作参与数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识.

3 教学流程与建议

3.1 课堂引入

我们之前学习了三角形全等的有关知识，知道利用三角形全等可以证明角（边）相等，还可以求解未知的角（边）的数量大小，是不是所有的证明角（边）相等都只能用三角形全等来解决呢？让我们一起来挑战2018年大庆市一道中考选择题，看你能否挑战成

功！

例1 如图1，∠B=∠C=90°，点M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB的度數是（ ）.

A.30°B.35°

C.45°D.60°

完成此题后教师引导学生：解决这道题的关键是抓住DM平分∠ADC这个条件，利用角平分线的性质解决问题，那么角平分线的性质还有哪些其他应用呢？

课堂教学的引入是教学中一个重要环节，一个好的引入环节能第一时间激发学生学习兴趣，调动学生积极性，引发学生思考.本节复习课以一道中考选择题引入，创设问题情境，大部分学生一看到中考题马上萌发了想挑战一下的欲望，衡量一下自己处于哪个层级，还有什么差距和不足，强烈的挑战意愿带领学生进入丰富的知识殿堂.

本节课的问题引入如果能让问题生活化，用学生生活中熟悉的例子来引入新课，会让学生既有亲切感，又体现了数学源于生活，又应用于生活，人人都能学有用的数学这个课程理念.

3.2 探索角平分线的应用

例2 画一画，如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC.能否构造出以AD为公共边的全等三角形，你有几种构造方法，并说明理由.

探究结果：如图3所示.

设计意图 学生通过独立动手操作、动脑思考，把比较枯燥的几何内容变得丰富多彩，并在老师的引导下动手能力、几何直观、合情推理都得到了充分的发展，也渗透了分类的数学思想和方法;再利用信息技术辅助教学，动画地翻转一个三角形到与之全等的三角形上，为学生理解结论、解决问题提供更直观的帮助，以此来提升学生直观想象与逻辑推理等数学素养.

3.3 典型习题

题1 如图4，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，BC>BA，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD.

教师出示问题后，没有急于让学生去证明题目，而是给出了一系列问题串：

（1）从上面的“画一画”你能否得到有益于解决这道题的思路？

学生1：如果把上面的“画一画”移植到这个图中，就是构造以BD为公共边的两个全等三角形，也就是构造以BD为对称轴的对称图形.

（2）按着这个思路想下去，你可以想出几种证明的思路呢？怎样添加辅助线？

学生2：可以“截长”“补短”“作垂直”.

（3）虽然辅助线作法不同，我们是否可以用同一句话总结这道题的分析思路？

学生3：想办法构造以BD为对称轴的对称图形，找对应角和对应边，进一步借助已知条件转化，问题都可以解决.

（4）同学们，通过上面的方法可以体会到借助添加辅助线能解决很多几何问题，实际上，我们还可以补充其他图形，解决问题更便捷.以后学习了圆的有关知识，解决这道题会更简单，我们现在可以提前欣赏一下这种方法的简洁之处.

证明 出现对角互补条件时，联想到四点共圆，作经过A、B、C、D四点的圆.

因为∠ABD=∠DBC，所以AD=CD .

作为课堂教学的基本课型之一的复习课，很多老师把它上成了习题课，老师就题讲题，学生就题想题，师生都拘泥于一道题、一类题的解法上，而不是分析这类题后面隐含的数学思想，学生的思维打不开，很难提高学生的数学素养.但本节课的设计者却善于引导学生思考题目背后隐藏的本质问题，教师设计的问题串把学生的思维带入螺旋上升的几何空间.这样的课堂，不是简单地教知识和积累技能，而是教学生学会思考，体会数学的基本思想和思维方式.

学生们还沉浸在能用多种方法解决问题的喜悦中，教师适时给出变式题，使学生的思维散而不乱.

变式1 如图4，在四边形ABCD中，BC>BA，∠A+∠C=180°，AD=CD，求证：BD平分∠ABC.

变式2 如图4，在四边形ABCD中，BC>BA，DB平分∠ABC，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°.

这个习题的变式虽然只是把条件和结论互换位置，但问题的核心却依然在“角平分线”有什么性质，用什么方法能推理出一条线段是一个角的平分线.如果能牢牢抓住这个关键点，问题迎刃而解.教师经常设计这种变式训练，学生才会不断地从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，提高学生的应用意识和实践能力.

3.4 综合提高

例3 在ΔABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AC=AB+BD.

课堂上，教师引导学生先独立思考，然后小组交流，最后总结归纳出截长和补短两种添加辅助线的方法，如图7.

2011版数学课程标准提出教学建议：教师要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材;关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展.依据这样的教学建议，姜老师设计两道综合提高题，综合应用角平分线和三角形有关知识，虽然没有直接用到角平分线的性质，但却又一次抓住了角平分线的本质是它的对称性，利用对称性构造全等，得出对应角（边）相等.课标还建议：数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联.能够把多个知识点融合起来应用才是真正理解了知识，所学知识才能得以“生长”、得以“延伸”.

3.5 拓展延伸

完成上述探究角平分线的基本应用后，学生对角平分线融入全等三角形有所理解：借助三角形的全等得到角（边）相等，总结归纳出一些证明角（边）相等的方法，学生的几何直观、合情推理能力得到锻炼.如果有了角平分线这一条件再加上平行、垂直等表述位置关系的条件，同学们又会迸发出怎样的思维火花呢？

例4 如图8，在ΔABC中，∠B和∠C的角平分线相交于一点D，过点D作EF//BC，交AB于点E，交AC于点F.请你猜想EF，BE，CF的数量关系，并加以证明.

例5 如图9，在Rt△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°， ∠1= ∠2，CE⊥BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.

教师出示题目后，先让学生独立思考、自主探究，待到大部分学生有了基本思路，个别学生有疑问时，教师引导学生小组合作，能内部解决的都在小组内解决，最后把共性的问题集中起来，教师点拨、答疑，引导学生共同归纳解决方法.学生经历观察、思考、猜想、证明等数学活动，发展合情推理和演绎推理能力，把自己的想法更清晰地表達出来.学生的数学思想和思维方式逐渐形成.学生在老师的问题设计和活动安排实施过程中，逐步形成了适应个人终身发展和社会发展所需要的数学思维品质和关键能力，逐步学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界.

3.6 课后作业

如图10，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∠ABC=45°，BD平分∠ABC交AC于点D， AE⊥BC于点E，交BD于点F. 用多种方法证明：AB+AD=BC.

教师设计的课后作业虽然只有一道题，但却是面向全体，又有分层，随着证明方法的增多，学生的思维广度和思维深度得到不同程度的锻炼，这也体现了让不同的学生都有不同发展的教育理念.

3.7 总结提升

综合以上几个题目可以引导学生归纳角平分线几种辅助线的作法：

（1）已经角平分线上一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段;

（2）已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段;

（3）已知角平分线，以角的平分线为对称轴构造对称图形;

（4）利用角的平分线构造等腰三角形.

学生一边归纳辅助线作法，一边举例子画图，加深学生对辅助线作法的理解，同时教师给出下面四句顺口溜的前半部分，让学生思考补充后半部分，更进一步强化学生对角平分线添加辅助线的理解.

图中有角平分线，可向两边作垂线;

也可将图对折看，对折以后关系现;

角平分线平行线，等腰三角形来添;

角平分线加垂线，三线合一试试看.

这样的设计看似学生只学习了角平分线辅助线的作法，但学生却在思考和回答中掌握了几何学习中的基础性、通用性知识，发展了合情推理和演绎推理能力，这正是学生适应未来发展所必备的知识和关键能力.

姜老师这节课立足课程标准的落实，精选、重组课程内容，对复习课教学设计做了大胆的尝试：改变了过去习题课以机械重复的解题训练为课堂主旋律的状况，深刻理解数学，理解学生，引导学生动手操作、独立思考、自主探究出添加辅助线的方法;选取了有针对性、有层次性的范例， 解法灵活多变，并且进行了题目变式;设计的问题串体现了数学思维性，让学生自主地、有逻辑地思考.整节课突出学生的“主体地位”，学生经历了怎样分析和怎样学会分析的基本过程，不仅关注如何获得解题思路，而且寄希望于对“思路”的进一步分析而增强数学能力、优化认知结构、提高思维品质，学会“数学地思维”.按照这种设计理念实施课堂教学，不仅完成了课程标准提出的教学要求，而且学生的数学学科核心素养也得到了培养和提升.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

（收稿日期：2019-06-14）