Sylvester矩阵方程解的可信验证

刘畔畔，桑海风，赵 盈，王 尧

(1.北华大学数学与统计学院，吉林 吉林 132013；2.北华大学机械工程学院，吉林 吉林 132021)

0 引 言

在模型降价和控制论[1-2]等领域中，许多问题都可以归结为求解Sylvester矩阵方程AX+XB=C的问题.本文研究计算此矩阵方程近似对称解X的可信验证方法，其中A，B和C均为n×n阶的实矩阵.为了验证Sylvester矩阵方程的解，将AX+XB=C改写成Px=c的形式，其中P=In⊗A+BT⊗In，x=vec(X)，c=vec(C)，⊗表示Kronecker积，vec表示按列拉直算子.

本文将在Sylvester矩阵方程的系数矩阵不可对角化时，利用可信验证算法获得该方程的近似对称解及其误差界，得到一个可信验证算法，使其精确解存在于近似解的误差界内.

求解此类问题，一般可以考虑利用verifyless函数来验证线性方程Px=c的解，得到可信区间向量x，再将其还原为n×n阶矩阵，最终得到方程AX+XB=C的可信区间矩阵X.但是，此方法计算量非常大.为了解决这个问题，本文将提出一种算法，该算法可以降低验证的时间，提高计算效率.

1 主要结果

假设Sylvester方程有唯一解，且矩阵A和B不可对角化，对A和B作如下分解[3]：

A=V1D1W1，其中V1，D1，W1∈n×n，V1W1=I，

B=V2D2W2，其中V2，D2，W2∈n×n，V2W2=I，

其中D1和D2都是块对角的矩阵并且每个对角块都是上三角的或下三角的，这个过程可以通过标准正交化和酉三角化来实现.为了表达方便，假设D1的每个对角块都是上三角的，D2的每个对角块都是下三角的，那么

P=In⊗A+BT⊗In=

为了计算方便，令

则可以把线性方程组Px=c改写为Qy=f.

每一个块又都可以表示为块上三角形，以第一块为例

那么如果D1和D2中所有的块都是2×2的，则Δ的稀疏结构如下：

引理1[4]设A，B，C是可乘的区间矩阵，那么

引理2[5]设A，T∈n×n，b∈n，x∈为线性系统Ax=b的近似解.若区间判定条件成立，则存在矩阵使得并且矩阵A，T都是非奇异的，其中int(x)表示x的内部.

引理3[6]给定区间矩阵A∈n×n和区间向量b∈n，若函数verifylss运行成功，则该函数计算得到的区间向量x⊂n满足Σ(A，b)={x∈n：Ax=b，A∈A，b∈b}∈x.

由引理1得

vec(M)⊇{(In⊗(D1-S1))z：z∈z，S1∈S1}，

vec(N)⊇{((D2-S2)T⊗Im)z：z∈z，S2∈S2}.

因为

{(Δ-Q)z：z∈z}⊆vec(M)+vec(N)，

进而{Δ-1(Δ-Q)z：z∈z}={(I-Δ-1Q)z：z∈z}⊆Δ-1(vec(M)+vec(N)).又由

可用Matlab中INTLAB软件包的verifyless函数来实现线性方程组的可信验证.定义如下符号：

M(X)=ATAX+ATXB+AXBT+XBBT+XATA+BTXA+BXAT+BBTX，

G=ATC+CBT+CTA+BCT，P(X)=G-M(X)，Pk=P(Xk).

利用文献[7]中对称解求解的方法和引理3，设计可信验证算法如下：

算法1

输入：n阶矩阵A，B，C，X0， 随机对称矩阵X1，最大迭代次数N和容差ε；

3)计算

转2).

4)对A和B进行如下分解：A=V1D1W1，B=V2D2W2.

5)由verifyless函数计算区间矩阵W1和W2，使得W1∈W1，V2∈W2.

7)计算区间矩阵

S1=(W1A)W1，S2=V2(BV2)，u=Δ-1vec(T)，U=vec-1(u).

8.1)如果iter≤15， 则执行下面步骤，否则“失败”.

8.3)计算M=(D1-S1)Z，N=Z(D2-S2)，u=Δ-1vec(T+M+N)，U=vec-1(u).

2 数值算例

基于Windows 7操作系统，利用MATLAB R2011a(INTLAB V6)软件进行下面的数值实验.对下面的矩阵方程执行可信验证算法，可以计算得到线性矩阵方程的近似对称解和对应的可信误差界.

例1给定矩阵

考虑Sylvester矩阵方程AX+XB=C对称解的可信区间.

输入：X1=0，N=1 000，ε=10-5.

输出：通过115次数值迭代得到近似对称解：

计算区间矩阵

矩阵方程AX+XB=C的唯一精确解

存在于如下可信区间解中：