巧构“010”分类　妙用“轨迹法”解题

郭源源

分类讨论是一种重要的数学思想方法，它能使复杂问题条理化，繁琐问题简单化，是培养学生思维严谨性和缜密性的关键，同时也是提升学生问题探究能力的重要方式.一直以来，几何中等腰三角形的分类，因其图形的直观性和其边角特征的常用性，成为了经典分类问题，也是历届中考的热点问题之一.

笔者通过自己在教学中的实践发现，学生在解决等腰三角形分类问题时是有分类意识的，也知道从边角两个维度去分析讨论，但面对中考中的此类题，或因为图形复杂，或因为结果偏多，出现漏解、错解的情况甚是严重.本文针对两个顶点固定的等腰三角形分类问题，以近些年的中考题为例，借助“轨迹法”构图分析，谈谈此类问题的解法策略，与同仁交流、分享.

1 “010”轨迹的介绍

已知两个定点A和B，若平面内再找一点C，使得△ABC是等腰三角形，则点C的轨迹是：分别以点A、B为圆心AB长为半径的两个圆和线段AB的垂直平分线.（不包括A、B、C三点共线的位置）

原理分析 △ABC是等腰三角形，但不明确腰底情况，故需分类讨论：①以C为顶角顶点，即CA=CB，则点C在AB垂直平分线上;②以A为顶角顶点，即AC=AB，则点C在以A为圆心AB为半径的⊙A上;③以B为顶角顶点，即BC=BA，则点C在以B为圆心BA为半径的⊙B上.所以点C的所有位置形成了类似“两圆一线”的轨迹，如图1，因形状和数字010相像，故又名等腰“010”轨迹.

2 “010”轨迹的应用

2.1 平面直角坐标系中的“010”

例1 （2016年湖北武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有个.

解析 本题只知晓△ABC为等腰三角形，对于腰底情况并不明确，故需分类讨论.已知等腰三角形ABC中，A和B两个顶点是固定的，第三个顶点C可以按CA=CB、AC=AB、BC=BA分类逐个画图;同时也可以 图2直接运用“010”模型快速分析：点C的轨迹在如图2所示的“010”虚线上，构图后发现AB垂直平分线与坐标轴交点有2个，即C1、C2;⊙A和⊙B与坐标轴交点有5个，即C3、C4、B、C5、C6，其中C3和B的位置不能构成三角形.所以满足条件的点C有5个.

点评 运用“010”轨迹解题，其中构图的细节也是影响正确率的一方面.本题中⊙A和⊙B的画法需根据数据的特征，推理出直线与圆的位置关系，结合数据和关系可以较准确地画出圆的位置.只有准确的构图才能跳出题目的陷阱，发现图形位置的特殊性.

例2 （2019年山东泰安）如图3，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=m x的图像交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=15 2.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式;

（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标.

解析 限于篇幅，笔者这里只探讨第（2）问.由（1）问可求，点A坐标（9，3），点B坐标（5，0）.等腰三角形ABP固定两个顶点A和B，由“010”模型知点P的轨迹在如图3所示的“010”虚线上，构图后发现符合要求的x轴交点有4个，即P1、P2、P3、P4.

由两腰相等易求出P2坐标为（0，0）、P3坐标为（10，0）;由对称性可求出P4坐标为（13，0）;而求P1坐标的方法较多，勾股定理、三角形相似或三角函数都可以.如设AB中点为C，易证出△CBP1也是一个3∶4∶5的直角三角形，则BP1=5 4BC=5 8BA=5 8×5=25 8，所以P1坐标为（65 8，0）.

点评 平面直角坐标系中，坐标的求法，方法多样，难度不大.这类题学生扣分的重点，不在于求法，而在于系统全面地画出所有点的位置.学生学会有条理地列出每种类型再逐个研究，是解此类题的关键所在.等腰“010”模型恰恰可以用整体的构图、系统的布局，达到最直观的效果，是解决此类等腰问题最有效的策略.

2.2 图形运动中的“010”

例3 （2017年浙江义乌）如图4，∠AOB=45°，点M、N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是.

分析 由题意可知，随着x值的变化，点M、N的位置发生变化，但线段MN的长度不变.由“010”模型可得等腰三角形PMN的顶点P轨迹在两圆一线的“010”虚线上，而本题中M点的运动，会带动着整个“010”也在运动，过程如图5—9.

结合整个的运动过程，筛选出点P恰好有三个的位置，画图求解即可.但为了更加系统全面地探究整个过程中，点P个数变化的情况，笔者在解析中给出更细致的分类研究.

解析 根据OM从小到大的运动过程，找到运动中的临界位置：（1）当点M和O重合时，如图4.求得x=0，此时OB边上点P的位置有3个.（2）当两圆的交点位于OB边上时，如图5.求得x=23-2，此时OB边上点P的位置有2个.（3）当⊙N与OB相切时，如图6.求得x=42-4，此时OB边上点P的位置有3个.（4）当⊙M经过点O时，如图7.求得x=4，此时OB边上点P的位置有2个.（5）当⊙M与OB相切时，如图8.求得x=42，此时OB边上点P的位置有2个.

根据临界位置可将整个运动过程分成以下几部分：（1）当x=0时，点P有3个.（2）当042时，点P有1个.

将上述部分，按点P的个数进行分类整合如下：（1）当042时，点P有1个.

综上所述，点P恰好有三个时，x的值为：x=0或x=42-4或4

例4 （2019年黑龙江绥化）如图10，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上任意一点，且AB=4，EF=2，设AE=x.当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）.

①当x=0（即E、A两点重合）时，P点有6个;

②当0

③当P点有8个时，x=22-2;

④当△PEF是等边三角形时，P点有4个;

A.①③B.①④C.②④D.②③

解析 本题只是将例3中的45°换成了正方形对角线的情境，本质上都是运动中的“010”题型.易知等腰三角形PEF的顶点P轨迹在两圆一线的“010”虚线上，构图分析如下：（1）当E、A两点重合时，如图11，此时符合要求的交点有6个，故①正确.（2）当点E刚离开点A时，如图12，此时符合要求的交点有8个，故②、③均错.（3）当△PEF是等边三角形时，即两圆交点位于正方形边上如图13，此时符合要求的交点有4个，故④正确.所以答案选当然本题还可以像例3一样，着眼于整个运动的动态过程，抓住临界位置.探究整个运动过程中，点P个数变化的情况.

点评 第一类平面直角坐标系中两个定点的等腰三角形也许不用“010”轨迹，逐个分类也能解决;但第二类运动中的等腰三角形存在性问题，若是逐个画图，凌乱且复杂，错误率很高，而“010”轨迹法则能呈现整体的轨迹图，有助于直观判断，达到化隐为显、化繁为简的效果.

2.3 一图中的多个“010”图14

例5 （2017年湖北武汉）如图14，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为个.

解析 本题“以△ABC的一边为边画等腰三角形”是分类信号之一，可以分成三大类：以BC为边画等腰、以AC为边画等腰、以AB为边画等腰.其中每一类都是固定两个顶点的等腰“010”模型.图15 图16 图17

（1）以BC为边画等腰，如图15，通过“010”轨迹直观分析，符合题意得有4个等腰三角形，即△P1BC、△CP2B、△CP3B、△BCP4.

（2）以AC为边画等腰，如图16，通过“010”轨迹直观分析，符合题意得有2个等腰三角形，即△P5AC、△ACP6.

（3）以AB为边画等腰，如图17，通过“010”轨迹直观分析，符合题意得有1个等腰三角形，即△P7AB.

综上所述，可以画出7个不同的等腰三角形.

点评 本题为二级分类题，既不明确哪条边为边画等腰，也不清楚所画等腰的腰底情况，故解题时，若只凭感觉去逐个罗列，遗漏是必然的.但有了“轨迹法”的解题策略，3个“010”就可轻轻松松、一目了然地解决此题.本题还可以变式为当∠A=30°，写出此时不同的等腰的个数.3 写在最后

一个好的解题方法，应以学生的理解为基础，以解题的高效为动力，以帮助学生全面地、系统地研究问题为根本，从而达到“练一题，学一法，会一类，通一片”的目标[1].解题中，只有看透问题的实质，抛开琐碎的技巧，着眼于整体的概况，才能挖掘到方法的本质.如简单图形中的等腰分类，学生没问题，而为什么本文中的这些等腰分类问题，学生错误的情形非常严重？究其根本原因，是没有理解等腰分类的方法本质，故在简单图形中尚可罗列凑合，一旦图形复杂或运动就稀里糊涂、无从下手.等腰在不确定腰底情况下的分类，本质就是三条轨迹，“轨迹法”是解决此类问题最全面、最系统的方法[2].所以笔者认为解题中，不应以解出答案为终点，而应注重解题过程的通性通法，方法是否合理，是否成体系，是否可以一以贯之.只有这样，解题才会有章法、成体系，数学也才会越学越简单.

日本教育家米山国藏认为：“成功的数学教学，应当是数学精神，思想方法深深地、永远地、铭刻在学生的头脑里，长久地活跃于他们日常的业务中，虽然那时数学的知识已经淡忘”.可见渗透数学思想方法的教学才是可持续、可发展的数学教学，只有在实践中锤炼出的数学思想方法才是学生真正能留得住、带得走并受用一生的数学财富.

参考文献

[1]沈岳夫.点动图变思構图分类探求寻突破[J].中国数学教育（初中版），2016（12）：54-57.

[2]马学斌.等腰三角形的存在性问题解题策略[J].中小学数学（中旬），2015（10）：25-27.