突出数式之间联系　培养数学建模能力

董红霞　李树臣

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）把初中阶段“数与代数”部分的内容分为三大部分：数与式;方程与不等式;函数.这些内容是研究数量关系和变化规律的数学模型，是用于表示、交流与解决问题的工具，广泛用于表达、计算和推理等活动过程之中.

教师要在学习方程、不等式、函数知识的同时，适当设计一些让学生通过建立方程模型、不等式模型以及函数模型解决的实际问题，以提高学生应用数学知识解决问题的能力.在学生通过适量的训练，能熟练的建立其中一个模型解决实际问题后，要设计一些突出它们联系（结合）的问题，以不断提高学生建立“数式模型”解决实际问题的能力.

本文从2019年各地中考试题中选择了部分通过建立三者（方程、不等式、函数知识）模型解答的问题加以分析，旨在引导教师加强知识之间联系的教学与研究，发挥数式内容在培养学生数学建模能力方面的作用.1 建立方程（组）与不等式模型

关于方程（组），《课标（2011年版）》的要求是“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”，为实现这个目的，在教学中要突出建立方程（组）模型解决实际问题的教学.初中阶段学习的方程主要有：一元一次方程（組）、分式方程和一元二次方程.

《课标（2011年版）》提出“能根据具体问题中数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题”，在有关不等式（组）知识的教学中，也要注重建立不等式模型解决实际问题的教学.

中考题常见考查学生通过建立方程（组）模型与不等式（组）模型解决实际问题的题目，这样的问题比单独让学生建立方程（组）模型或不等式（组）模型解决实际问题的难度有所增加.

案例1 采购运动服问题（山东聊城）

某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：

（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？

（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的32倍多5件，在采购总价不超过21 300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？

简解 （1）设A，B两种品牌运动服的进货单价分别为x元，y元，根据题意可建立方程组20x+30y=10 200，30x+40y=14 400，解得x=240，y=180.检验知方程组的解符合题意.（2）设购进A品牌运动服m件，建立不等式240m+180（32m+5）≤21 300，解得m≤40.检验符合题意.所以32m+5≤32×40+5=65.

点评 本题以“购买学生运动服”为背景，考查学生建立方程组和不等式模型解答实际问题的能力.有关信息是用文字和图表两种方式给出的，建立方程组模型的关键是从图表中获取有用的信息.建立不等式模型的关键是正确理解“不超过21 300元”的意义.

在通过建立不等式或不等组模型解决有关实际问题时，要引导学生正确理解“不大于”“不小于”“超过”“低于”等关键词的含义，这是建立不等式（组）模型的关键，也是考生容易出错的地方.2 建立方程与函数模型

函数是初中“数与代数”部分的重要内容，也是学生学习时感到困难的地方，初中阶段将学习一次函数、反比例函数、二次函数.对这些函数的学习，《课标（2011年版）》都作出了要通过建立相应模型解决实际问题的要求.例如“能用一次函数解决简单实际问题”“能用反比例函数解决简单实际问题”对于二次函数也有同样的要求.

无论在学习哪种具体函数时，我们都要引导学生学会建立相应的模型解决有关实际问题.中考题中除了考查学生通过建立函数模型解决实际问题的能力外，常见的是让学生通过建立方程（组）与函数两种模型解决实际问题的考题.

案例2 销售芒果问题（四川攀枝花）

攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市.某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系.

（1）某天这种芒果售价为28元/千克，求当天该芒果的销售量.

（2）设某天销售这种芒果获利m元，写出m与售价x之间的函数关系式.如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？

简解 设该一次函数解析式为y=kx+b，则25k+b=35，22k+b=38， 解得k=-1，b=60.

则y与x的解析式为y=-x+60（15≤x≤40）.

（1）当x=28时，y=-28+60=32.所以当芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克.

（2）由题易知m=y（x-10）=（-x+60）（x-10）=-x2+70x-600.当m=400时，则-x2+70x-600=400，解得x1=20，x2=50.因为15≤x≤40，所以x=20.

点评 本考题以“卖芒果”为背景，主要考察学生通过建立方程（组）模型和函数模型解答实际问题的能力.用到的知识主要有解方程组、解一元二次方程、一次函数性质等.这类问题中涉及到利润问题，解答时要熟练掌握以下几个常用的公式：利润=售价-成本价，总利润=单个商品的利润×销售量，利润率=利润÷进价×100%.

在解答问题（1）和（2）之前，需要先根据表格中给定的数量对应关系，用待定系数法确定出一次函数的解析式y=-x+60，并且根据“售价不低于15元/千克，且不超过40元/千克”确定出自变量x的取值范围是15≤x≤40，这是学生容易忽略的地方.有了解析式y=-x+60，问题（1）随之而解.问题（2）首先要“根据总利润=销售量×每千克的利润”得出芒果获利m与售价x之间的函数关系式m=y（x-10），然后把y=-x+60代入，得到二次函数解析式m=-x2+70x-600，最后令m=400，得到一元二次方程模型.3 建立不等式与函数模型

让学生通过建立不等式（组）模型与函数模型解决实际问题的考题也是常见的一种题型.

案例3 产品利润问题（江苏连云港）

某工厂计划生产甲、乙两种产品共2 500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）.

（1）求y与x之间的函数表达式;

（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1 000吨，其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.

简解 （1）利润y（元）=生产甲产品的利润+生产乙产品的利润;而生产甲产品的利润=生产1吨甲产品的利润0.3万元×甲产品的吨数x，即0.3x万元，生产乙产品的利润=生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数（2 500-x），即0.4（2 500-x）万元.生产甲、乙两种产品获得的总利润为y与x之间的函数表达式为：y=0.3x+0.4（2500-x）=-0.1x+1 000.

（2）根据题意可得0.25x+0.5（2 500-x）≤1000，x≤2 500，解得1 000≤x≤2 500.根据函数的增减性，结合自变量x的取值范围，可知当x=1 000时，y最大，所以2500-x=1 500.

所以生产甲产品1 000吨，乙产品1 500吨时，利润最大.

點评 本考题以“工厂生产甲、乙两种产品”为背景，主要考察学生通过建立不等式组模型和函数模型解答实际问题的能力.用到的主要知识有不等式组、一次函数的性质等.解答问题（1）时，根据“甲、乙两种产品获得的总利润=甲产品的利润+乙产品的利润”可直接建立一次函数模型.解答问题（2）的关键是在正确理解题意的基础上，建立起不等式组模型.4 建立方程、不等式与函数模型

前面的三个案例都是建立两个模型就能解决的问题.下面的问题则是要求学生建立三个模型才能解决的考题，这样的题目突出了三者的综合利用，对于提高学生建立代数模型解决实际问题的能力是很有必要的.

案例4 公交班车问题（浙江宁波）

某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林，离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示.

（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式;

（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间;

（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）

分析 （1）利用待定系数法，将两点坐标代入解析式，即可求解析式;（2）将1 500代入解析式，即可求出所需时间;（3）根据题意列出不等式，求得小聪坐的是第几班车，然后分别算出坐车和步行到草甸的时间，即可求出二者相差的时间.

简解 （1）由题意可设函数表达式为y=kx+b（b≠0），把（20，0），（38，2 700）代入，可得0=20k+b，2 700=38k+b，解得k=150，b=-3 000.

所以第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式为y=150x-3 000（20≤x≤38）;

（2）把y=1 500代入y=150x-3 000，解得x=30，30-20=10（分）.

所以第一班车到塔林所需时间为10分钟.

（3）设小聪坐上第n班车，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5.

所以小聪最早坐上第5班车，等班车时间为5分钟，坐班车所需时间：1 200÷150=8（分），步行所需时间为1 200÷（1 500÷25）=20（分）.20-（8+5）=7（分）.

所以小聪坐班车到草甸比他游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟.

点评 本题以小聪游览景点乘坐“公交车”问题为背景，考查学生利用待定系数法求一次函数解析式并求解多个问题的综合性题目.问题（1）在确定一次函数解析式的过程中，需要根据公交车函数图象上的两个点的坐标建立方程组模型;（2）在求“第一班车从入口处到达塔林所需的时间”时，需要建立一元一次方程模型;在求解问题（3）时，首先需要根据题意建立不等式模型，求出小聪坐的是第几班车，然后分别算出坐车和步行到草甸的时间，即可求出二者相差的时间.在求差时不要忘了小聪等班车的时间，这是学生容易忽视出错的地方.

本题在解答过程中需要求出公交班车行驶的速度，求这个速度的信息“融入”在第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系图象之中，这也是学生感到困难的地方.5 启示

5.1 突出模型教学，培养学生模型思想

数学模型思想是《课标（2011年版）》提出的十大核心概念之一，是学生数学核心素养的重要组成部分.针对这种思想《课标（2011年版）》进一步解释为“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”.

这就要求我们在数学教学中，应结合具体的内容，适当加强对学生通过建立数学模型解决实际问题的训练，通过训练让学生逐步明确图3所示的建立模型解决数学问题的一般过程.

数学建模是一种数学活动，是一种数学思想方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具.加强数学建模教学对于促进学生模型思想的形成，进而提高数学核心素养是非常有价值的.

5.2 加强数学语言教学

建立数学模型解答实际问题的第一步是阅读题目，明确题意的要求，学生阅读的前提是能准确掌握数学语言，这里的语言主要指文字语言、图形语言和符号语言.数学语言有着极其严格的含义，我们可以用“增之一分则太长，减之一分则太短，著粉则太白，施朱则太赤”来形容它的简练性.在阅读时，要求学生要了解其中每个数学术语、符号的精确含义，如在建立不等式模型时，必须通过阅读理解“大于”“不超过”“至少”“最多”等词语所表述的具体意义.

5.3 突出知识的应用过程教学

《课标（2011年版）》指出，数学教学应“设计运用数学知识解决问题的活动.这样的活动应体现‘问题情境─建立模型─求解验证的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识”.

在数学教学中，当学完一个知识点后，要根据实际，尽量选取一些能利用这些知识解答的实际问题，让学生通过建立相应的数学模型去解答.这样既加深了学生对有关知识的理解，也能不断提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.加深学生对数学与现实生活密切相联系的认识.逐渐形成学生用数学的眼光、从数学的角度去观察、分析生活中所遇到的实际问题的心理倾向，逐步形成和发展学生的数学应用意识.久而久之，学生才能体会到“数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面”的真谛.