数学问题解答

2019年9月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2501设△ABC的三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，三角形的面积△，求证：

(1)

当且仅当△ABC为等边三角形时式中等号成立.

(河南质量工程职业学院 李永利 467000)

证明令a=y+z,b=z+x,c=x+y，

而 2(ab+bc+ca)-(a2+b2+c2)

=2[(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)+(x+y)(y+z)]-[(y+z)2+(z+x)2+(x+y)2]

=2[(x2+y2+z2)+3(xy+yz+zx)]

-[2(x2+y2+z2)+2(xy+yz+zx)]

=4(xy+yz+zx)，

于是(1)式等价于

⟺(xy+yz+zx)2≥3xyz(x+y+z)

⟺(xy)2+(yz)2+(zx)2+2xyz(x+y+z)≥3xyz(x+y+z)

⟺(xy)2+(yz)2+(zx)2≥xyz(x+y+z)

(2)

而(xy)2+(yz)2+(zx)2≥xy·yz+yz·zx+zx

·xy=xyz(x+y+z)，

即(2)式成立，从而(1)式成立.

由以上证明过程可知，当且仅当x=y=z即a=b=c亦即△ABC为等边三角形时，(1)式中等号成立.

2502设AM为锐角三角形ABC的外接圆直径，N为边BC的中点，P为∠BAC的平分线AP与直线MN的交点，E，F分别为点P在两边AB和AC上的射影，证明：直线MN与EF的交点H是△ABC的垂心.

(河南辉县一中 贺基军 453600)

证明如图，在△ABC及其外接圆中，因∠BAC的平分线AP与所给直线MN相交，

故知AB≠AC，不妨设AB

设直线MN与△ABC外接圆的另一交点为Q，

连接QA，QB，QC，QE，QF及MB，MC.

因AM为△ABC外接圆的直径，

故∠AQP= 90°.

又因∠AEP=∠AFP= 90°，

故A，Q，E，P，F五点共圆.

因∠QEA=∠QFA，

故∠QEB=∠QFC.

又因∠QBA=∠QCA，

故△QBE∽ △QCF，

①

在四边形QBMC中，

由BN=CN得S△QBM=S△QCM，

即BQ·BM·sin∠QBM

=CQ·CM·sin∠QCM.

因∠QBM+∠QCM=180°，

故BQ·BM=CQ·CM.

②

在线段NQ上截取NH′ =MN，

连接H′E，H′F及H′B，H′C，

所得四边形H′BMC为平行四边形(因该四边形对角线互相平分).

因BH′∥MC，MC⊥AC，

故BH′⊥AC，同理CH′⊥AB.

因此，点H′ 是△ABC的垂心，

同时∠EBH′ = 90°-∠BAC=∠FCH′.

根据① ②及CM=BH′，BM=CH′ 得

由此可知△EBH′ ∽ △FCH′，

从而有∠H′EB=∠H′FC.

③

由题设知AE=AF，∠AEF=∠AFE，

从而有∠HEB=∠HFC(③式的特例).

④

△ABC的垂心H′ 和点H在线段NQ上，

考虑线段NH′ 与NH的关系：

如果NH′ =NH，此时点H′ 重合于点H；

如果NH′ >NH，结合③ ④得

∠H′EH=∠H′EB-∠HEB

=∠H′FC-∠HFC=∠H′FH，

于是△EH′F为等腰三角形，

其顶点H′ 在边EF的中垂线AP上，

即△ABC的垂心H′ 在AP上，

因此AP⊥BC. 又因AP平分∠BAC，

故AB=AC，这与AB≠AC矛盾；

同理，NH′

综上得知，H′ 和H两点重合，

因此点H是△ABC的垂心.

2503△ABC中，a,b,c分别表示三角形三边长，I为△ABC的内心，则

(浙江省永康市第六中学 吕永军 321300)

证明设r,R分别为△ABC的内切圆半径与外接圆半径

2504已知a，b，c>0，abc=1，求证：

(河南省南阳师范学院软件学院 李居之 孙文雪 473061)

证明不难证明，当x>0时，

xlnx≥x-1(当且仅当x=1时等号成立)，

所以，当x>0时，有

于是

当且仅当……