例举双曲线四类必考题型

■河南科技大学附属高级中学 张 辉

解析几何是高考的重点考查内容,而双曲线又是解析几何的重要组成部分,从近几年高考命题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的热点,离心率和渐近线问题是考查的重点,题目难度属于中低档,多以选择填空形式出现,主要考查学生分析问题、解决问题的能力,涉及数形结合思想和转化思想的应用。下面我们主要分析双曲线章节的经典题型和解题方法。

类型一 双曲线的定义与应用

例1(2018 年太原市模拟)已知双曲线C=1(a＞0,b＞0)的左焦点为F1,离心率为,P是双曲线C右支上的动点,若点Q(c,2a)(c为半焦距),且|PF1|+|PQ|的最小值为8,则双曲线C的标准方程是_____。

解题思路：由双曲线定义结合|PF1|+|PQ|的最小值为8,可得到a的值,再根据离心率得到c的值,进而根据c2=a2+b2,求得b的值,从而求出双曲线的方程。

解析：设双曲线C的右焦点为F2,因为e=,所以a=2b。将x=c代入双曲线C的方程,得y=±,所以点Q在双曲线右支的上方。

由双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|+|PQ|=2a+|PF2|+|PQ|。

当F2、P、Q三点共线时,|PF2|+|PQ|取得最小值,此时|F2Q|=2a,所以|PF1|+|PQ|的最小值为4a。则4a=8,解得a=2。已知双曲线C的离心率为,则c=,双曲线C的标准方程是-y2=1。

评注：解决双曲线中有关最值问题,常见方法就是依据双曲线的定义,再结合平面几何知识求解,不仅直观易懂,而且简单易用。

类型二 双曲线的标准方程

例2(2017 年全国卷Ⅲ卷)已知双曲线=1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆=1 有公共焦点,则双曲线C的方程为( )。

解题思路：根据双曲线的渐近线方程得到a,b关系,根据公共焦点求出c,利用c2=a2+b2,求出a2,b2。

解析：根据双曲线C的一条渐近线方程为,可知。①

根据①②可知a2=4,b2=5,选B。

评注：求解双曲线的标准方程是学习双曲线的基础,以上是求解双曲线标准方程的一般方法,我们都是先确定焦点在x轴上还是在y轴上,如果焦点位置不确定,可进行分情况探讨。如果我们对椭圆、双曲线的几何性质熟悉,也可用其他解法,简化计算过程。

类型三 双曲线的几何特征——渐近线和离心率

1.直接法

例3(2018年全国Ⅱ卷) 双曲线=1(a＞0,b＞0)的离心率为,则其渐近线方程为( )。

解题思路：知道离心率,可得到a,c的关系,利用c2=a2+b2,求出a2与b2的关系,从而求出渐近线方程。

解析：由题意知,e,则。该双曲线的渐近线方程为y==±x,选A 。

评注：双曲线的渐近线与离心率有着密切的联系,二者之间可以相互转化,并且都是刻画双曲线开口大小的重要特征。

2.利用几何关系求离心率

例4(2019年全国Ⅱ卷)设F为双曲线=1(a＞0,b＞0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点。若|PQ|=|OF|,则双曲线C的离心率为( )。

解题思路：首先求出以OF为直径的圆的方程,然后求得两圆公共弦所在的直线方程,由勾股定理求得PQ,从而由|PQ|=|OF|得到关于a、b、c的齐次方程,进而求得双曲线的离心率。

评注：利用几何关系建立有关a、b、c的齐次式,此类问题是高考考查的重点,也是难点,一般情况下都要利用数形结合、双曲线的定义、焦点三角形、直角三角形等相关知识解题。

3.离心率取值范围

例5(2019 年名校联考原创预测卷)已知点F1、F2分别是双曲线=1(a＞0,b＞0)的左、右焦点,在双曲线的右支上存在一点P,使|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等比数列,则该双曲线离心率的取值范围是( )。

解题思路：根据|PF2|,|PF1|,|F1F2|

成等比数列,得到 |PF1|2=|PF2|·|F1F2|。点P在双曲线的右支上,依据双曲线定义得到|PF1|-|PF2|=2a,因此可以用a,c表示|PF1|或|PF2|,最后根据双曲线右支上的点到焦点的距离的取值范围,即|PF1|≥c+a或|PF2|≥c-a,得到关于e的不等式。

解析：令|PF1|=m,|PF2|=n,则由|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等比数列,得m2=n|F1F2|。又m-n=2a,|F1F2|=2c,所以m2=2(m-2a)c,即m2-2mc+4ac=0,则Δ=4c2-16ac,且m=c+。

根据Δ＞0,得e＞4。由m≥c+a,得≥a,c2-4ac≥a2,e2-4e-1≥0,e≥2+,故选A。

评注：双曲线离心率取值范围与双曲线求值有很多相似的思路,但因为涉及的是范围,我们需要注意以下几个方面：(1)根据直线与双曲线的位置关系,利用判别式；(2)转化为函数问题；(3)不要忘记双曲线本身离心率的取值范围。

类型四 直线与双曲线位置关系

1.位置关系判断

例6(1)(2017年厦门期末测试卷)过双曲线=1的左焦点作倾斜角为直线l,则直线l与双曲线的交点( )。

A.都在左支上

B.都在右支上

C.不确定

D.一个在左支,一个在右支

(2)求直线l：y=2x和双曲线x2-y2=4的交点个数。

解题思路：思路一是代数法,将直线方程代入双曲线方程,利用判别式；思路二是几何法,将直线斜率与渐近线斜率进行比较,利用数形结合求解。

解析：(1)(代数法)直线l的方程为y=,代入整理可得23x2-8x-160=0。

(2)(几何法) 双曲线的渐近线为：x2-y2=0,即y=±x。因为双曲线焦点在x轴上,且l的斜率大于渐近线斜率,所以直线l与双曲线相离,交点个数为0。

评注：判断直线与双曲线的位置关系,基本思路有两个：(1)代数法,将直线方程与双曲线方程进行联立消元,对所得方程进行探讨,特别要注意二次项系数是否为零；(2)利用数形结合思想,借助图形判断直线与双曲线位置关系,一般情况都要与渐近线进行对比。

2.中点弦、弦中点

例7已知双曲线方程2x2-y2=2。

(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程。

(2)求过点B(1,1)能否作直线,使与所给双曲线交于Q1、Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点。如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由。

解题思路：(1)设出弦的两个端点,代入双曲线方程,作差即可求出弦所在直线的斜率,再利用点斜式求直线方程；(2)设出弦所在的直线方程,代入双曲线方程,整理出关于x的一元二次方程,再根据判别式判断方程是否有根,直线是否存在。

解析：(1)设弦的两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两式相减得到2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)。又因为x1+x2=4,y1+y2=2,所以直线斜率,所求直线方程为4x-y-7=0。

(2)假设满足题设条件的直线l存在,按照(1)的解法可得直线l的方程为y=2x-1。

消去y,得2x2-4x+3=0。方程的判别式Δ=-8＜0,所以方程无实根,直线l与双曲线无交点,满足题设条件的直线l不存在。

评注：涉及中点弦的问题,一般用的方法是“韦达定理”和 “作差法”,作差法可以简化计算,但是用作差法的前提是默认以该点为中点的弦的斜率存在,所以用此方法求解中点弦所在直线方程,必须要进行检验,验证直线是否与双曲线相交。