圆锥曲线中最值与范围问题的方法突破

■河南科技大学附属高级中学 许 哲

圆锥曲线中的最值与范围问题是高考解答题的重点与难点之一。解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点就是如何建立目标函数和不等关系。下面探究常见题型的破解策略。

一、利用基本不等式求最值与范围

图1

例1如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为,过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD。当直线AB的斜率为0时,

(1)求椭圆的方程；

(2)求以A,B,C,D为顶点的四边形的面积的取值范围。

解析：(1)由题意知,则a=c,b=c。

当直线AB的斜率为0 时,|AB|+|CD|=2a+=,则c=1。

(2)①当直线AB与CD中有一条直线的斜率为0时,另一条直线的斜率不存在。

由题意知S四边形ADBC=|AB|·|CD|=。

②当两条直线的斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),则直线CD的方程为y=-(x-1)。

将直线AB的方程代入椭圆方程,整理得：

(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0。

感悟：这道题,应用了两个公式：

1.弦长公式|PQ|==,a是x2的系数；

可先建立目标函数,再利用基本不等式求目标函数的最值。

例2已知动点A、B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且(t是不为零的常数)。设点P的轨迹方程为C。

(1)求点P的轨迹方程C；

(2)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上),点Q的坐标为,求△QMN的面积S的最大值。

解析：(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y)。

感悟：本题第二问,先构建面积平方的等式,再由点在曲线上这个条件,利用基本不等式求出积的最大值,从而求出面积的最大值。

例3已知椭圆=1(a＞b＞0),设过点A(0,m)的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程。

若2m2＜b2,则k2=＜0,S△OPQ取不到最大值,此时不能用基本不等式求最值,而通过用构造函数法或放缩法可以证明,当k=0时,S△OPQ有最大值。

感悟：利用基本不等式求最值时,一定要注意等号是否能够取到,如果取不到,要及时转换方法,也可利用函数法求最值。

二、利用换元法，构建函数求最值与范围

例4已知椭圆=1(a＞b＞0)的长轴长与短轴长之和为10,一个焦点为(-,0),A(x1,y1),B(x2,y2)(x1,x2＞0)为椭圆上的两点,P(0,1)。

(1)求|PA|的最大值；

(2)若直线PA,PB的斜率互为相反数,求△PAB的面积最大时直线AB的方程。

解析：(1)由题意,得2a+2b=10,c=5。

(2)由题知当直线AB的斜率不存在时,不满足PA,PB的斜率互为相反数,故直线AB的斜率存在。设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0),联立方程,得：

整理得2k(m2-4)-2km(m-1)=0。

因为k≠0,所以m2-4-m(m-1)=0,解得m=4。

故直线AB的方程为y=kx+4,即AB过定点Q(0,4)。

感悟：解决这类题的关键是构造关于所求量的函数,并适当地进行换元,转化为一个常见的函数,通过求该函数的值域来获得问题的解,利用换元法时要注意所换元的取值范围；在求函数的值域时,也可以利用基本不等式求解。