也谈两个重要极限的变形

杨松林

【摘要】本文总结了重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要极限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e多种变形，结合实例讨论了这些变形在求极限中的应用，希望有助于提高学生求极限的能力.

【关键词】极限;重要极限;无穷小量

一、引 言

函数的极限是微积分学习的重要组成部分，在微积分的体系起着必不可少的纽带作用，也是微积分入门的主要障碍之一.重要极限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要极限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e[1]是极限运算的重要组成部分，是高等数学竞赛和研究生入学考试的重要考点.文献[2][3]等给出了重要极限Ⅱ的变形.[2]中给出重要极限Ⅱ的一种变形，这一变形是重要极限Ⅱ的考虑最全面的变形之一，但在该变形中要用到带Peano型余项的Taylor展开式，对一般的学生掌握有一定的难度.本文从便于学生学习和掌握的角度总结出重要极限的几种变形，一方面，学生在学完第一章[1]极限知识后，就可以直接使用这些变形来求具有一定难度的函数极限;另一方面，可以不用Taylor展开式来处理一类1∞型幂指函数的极限.本文通过多个实例来说明重要极限及其变形的应用和重要极限在微积分学习中的重要性，希望对学生学习和应用重要极限具有指导意义，以提高学生求极限的能力.

二、重要极限的变形

以下讨论仅给出x→x0的情形，如没特别注明对x→∞的情形，结论也成立.记o（α（x））为α（x）当x→x0时的高阶无穷小.

重要极限Ⅰ limx→0sinxx=1[1].

重要极限Ⅰ主要用来处理00型的极限.

形式一：设 limx→x0α（x）=0，则 limx→x0sinα（x）α（x）=1.

形式二：设α（x）和β（x）是x→x0时的同阶无穷小且 limx→x0β（x）α（x）=k≠0，则 limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=k.

证明 对极限进行变形，

limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））

=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））

=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x）），

设g（x）=β（x）+o（β（x）），由limx→x0g（x）=0及形式一得

limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））=limx→x0sing（x）g（x）=1，

limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））=limx→x0β（x）α（x）+β（x）α（x）·o（β（x））β（x）1+o（α（x））α（x）=k，

因此， limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=1·k=k.

文[4]给出重要极限Ⅰ的一个关于多元函数的变形.

形式三[4] 设n为正整数，ai（i=1，2，…，n）为常数，则

limxi→0i=1，2，…，na1sinx1+a2sinx2+…+ansinxna1x1+a2x2+…+anxn=1.

重要极限Ⅱ limx→0（1+x）1x=e或 limn→∞1+1nn=e[1].

重要极限Ⅱ主要用来处理1∞型幂指函数的极限，其应用比重要极限Ⅰ的应用更为广泛，题型多种多样.

形式一：设α（x）是x→x0时的无穷小，则

limx→x0（1+α（x））1α（x）=e.

形式二：设α（x）和β（x）是x→x0时的等阶无穷小，则

limx→x0（1+α（x））1β（x）=e.

形式三：设 limn→∞xn=0， limn→∞yn=0且 limn→∞xnyn=k≠0，则

limn→∞（1+xn）1yn=ek.

形式四：设 limx→x0α（x）=1，limx→x0β（x）=0且 limx→x0α（x）-1β（x）=k≠0，则limx→x0（α（x））1β（x）=ek.

证明 limx→x0（α（x））1β（x）=limx→x0（1+（α（x）-1））1β（x），

其中 limx→x0α（x）-1β（x）=k，因此，由形式二得

limx→x0（α（x））1β（x）=ek.

形式五[2]：设α（x）和β（x）是x→x0时的同阶无穷小且 limx→x0α（x）β（x）=k≠0，则

limx→x0（1+α（x）+o（α（x）））1β（x）+o（β（x））=ek.

形式五是重要极限Ⅱ的考虑最全面的变形之一，但在该变形中要用到带Peano型余项的Taylor展开式，对学生的要求比较高，学生应用起来有一定的难度，不便于对微积分中等要求的学生掌握.

三、应用实例

例1 求极限 limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3.

解 这是一个00型的极限，通常可以用洛必達法则求其极限.我们利用重要极限Ⅰ的形式二，不需要导数的概念，只要利用等价无穷小.

因为，当x→0时，sinx2～x2=o（x），tanx3～x3=o（x），

所以，x+sinx2=x+o（x），sin3x+tanx3=sin3x+o（x），

因此，limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3=limx→0sinxsin3x=13.

例2 求极限 limn→∞12+n（n+1-n）n+1+n+1n+1-n.

解 这是一个幂指函数型的数列极限，通常可以转化为函数的极限，然后用洛必达法则来求其极限.我们利用重要极限Ⅱ的形式三，可不用导数的概念直接计算.

原式=limn→∞1+n-n+12（n+1+n）n+1+n+1n+1-n，

其中 limn→∞n-n+12（n+1+n）=0，

因为 limn→∞n-n+12（n+1+n）1n+1+n+1n+1-n=-12，所以由重要极限Ⅱ的形式三得，原式=e-12.

例3 求极限 limx→01+sinxcosax1+sinxcosbxcot3x（a≠b）.

解 这是一个1∞型的极限，通常可以用洛必达法则求其极限.我们利用重要极限Ⅱ的形式四，只要计算下列极限：

limx→01+sinxcosax1+sinxcosbx-1tan3x=limx→0sinxcosax-sinxcosbxtan3x（1+sinxcosbx）

=limx→0cosax-cosbxsin2x

=limx→0-2sina+b2xsina-b2xsin2x=12（b2-a2）.

因此，原式=e12（b2-a2）.

例4 设函数f（x）在x=a处二阶可导，且f（a）≠0，求 limn→∞f（a+1n）f（a）n.

解 这是一个1∞型的数列极限，我们用重要极限Ⅱ的形式三来计算其极限.

原式=limn→∞1+fa+1n-f（a）f（a）n，

其中 limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）

=limn→∞f（a+1n）-f（a）1n·1nf（a）=0，

因为 limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）1n=f′（a）f（a），所以由重要极限Ⅱ的形式三得，原式=ef′（a）f（a）.

该题也可以重要极限Ⅱ的形式五来计算其极限.

因為函数f（x）在x=a处二阶可导，所以由Taylor展开式得

fa+1n=f（a）+f′（a）n+o1n2，

即有，fa+1n-f（a）f（a）=f′（a）nf（a）+o1n2，

因为 limn→∞f′（a）nf（a）1n=f′（a）f（a），

所以由重要极限Ⅱ的形式五得，原式=ef′（a）f（a）.

我们也可以用上述变形来处理二元函数的极限.

例5 求极限 limx→3y→∞1+yyx2x+y.

解 这是一个1∞型的二元函数极限，我们同样可以利用重要极限Ⅱ的形式四来计算，只要计算下列极限：

limx→3y→∞1+yy-1x2x+y=limx→3y→∞x+yx2y=1，因此，原式=e1=e.

本文总结了重要极限Ⅰ和Ⅱ的一些重要变形，通过实例探讨了这些变形的应用，希望能给学生在学习极限时有所帮助，提高学生学习微积分的兴趣，对后继知识的学习能起到一个很好的铺垫作用.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]牛传择，桑波，颜红.第二重要极限的一种简易变形[J].大学数学，2016（5）：105-108.

[3]潘花，仇海全，王颖.第二重要极限在函数极限计算中的应用[J].吉林工程技术师范学院学报，2016（32）：94-96.

[4]杨东成.两个重要极限的新证法及推广[J].保山学院学报，2012（5）：57-59.