全等三角形性质的拓展

宋阳

摘 要：我们经常会听到学生反馈信息说：为什么考试考的题目我们都没有，如何把拓展知识融合到新授课当中，把学生解题的难点分散，是我們急需解决的问题。以全等三角形性质一课为例，谈谈笔者是如何应用教材，把知识难点在新授课中分散的。对于学生而言“全等三角形对应边相等，对应角相等”这一性质很容易理解，但是运用起来却较为灵活，而且其拓展使用方法也很多，我们可以分阶梯式进行引领。

关键词：全等三角形;性质;拓展

学生的学习应当是一个生动活泼的、主动和富有个性的过程。学生除认真听讲外，积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等都是数学学习的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。让学生直观感受无论是平移、翻折、对称、旋转，在图形的变换过程中，全等三角形性质始终成立。由简单到复杂，由单次变换到多次变换，在不同变换中衍生出不同的结论。

由全等三角形的性质可以得出相等的线段和相等的角，以此为基础，你还能找出新的相等的线段和相等的角吗？理论依据是什么？

例1：下图中△ABC≌△DEF，点B，C，E，F在同一直线上，请写出相等的线段.

把全等的两个三角形通过平移、翻折、对称、旋转的变换，学生很容易在其中找到相等的对应边、对应角，在此基础上我们还需让学生明白的是数量关系的进一步延伸与迁移。《几何原本》一书中提到等量加等量，其和仍相等;等量减等量，其差也相等。如图1，由△ABC≌△DEF得到AB=DE，再由AB-AE=DE-AE， 可得AD=BE，通过全等三角形对应边相等把线段的等量数量关系进一步延伸.

例2：下图中△ABC≌△DEF，请写出相等的角.

同样全等三角形对应角的数量关系也可以进一步延伸。与线段的延伸方式相同，我们还需让学生明白的是数量关系的进一步延伸与迁移。《几何原本》一书中提到等量加等量，其和仍相等;等量减等量，其差也相等。如图4，由△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠DCE，再由∠ACB=-∠ACE =∠DCE-∠ACE ， 可得∠ECB=∠DCA，通过全等三角形对应角相等把角的等量数量关系进一步延伸.

例3：下图中△ABC≌△DEF，请写出相等的角.

全等三角形对应角的数量关系的延伸还有另外一种角度。如图4，由△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠DBC且∠ABC=∠DCB，

再由∠DBA =∠DBC-∠ABC，∠ACD=∠ACB-∠DCB 可得∠DBA=∠ACD，通过全等三角形的两组对应角相等，把相同的对应角分别相加或减得到新的相等角。同时让学生找出图中的对顶角相等，公共角相等，公共边相等，这些特殊位置的线段和角对全等三角形判定有着一定的作用，以此打下基础，培养学生的图感。

例4：下图中△ABC≌△DEF，点A，B，E在同一直线上，可证出哪些线段的位置关系.

除此之外，全等三角形的对应角还有另外一个作用——判定直线的位置关系。如图9，全等三角形相等的对应角也是相等的内错角，∠F=∠F，证出EF∥BC;如图10，全等三角形相等的对应角也是互补的邻补角，所以∠CAB=∠CAE=90°，证出CA⊥BE。如图11，全等三角形对应角相等结合直角三角形两锐角互余的数量关系，可得出∠BAC +∠EAD=90°，证得AC⊥AD。由角的数量关系到直线位置关系的转换是比较难理解的一个过程，需要对学生加以引导，让其联想所学过的知识慢慢体会。

例5：下图中△ABC≌△DEF，图12点B，C，E，F在同一直线上，图13.14点A，B，E在同一直线上，可证出哪些特殊的三角形.

通过全等三角形的性质，得到对应线段相等，对应角相等，再通过对对应线段对应角的研究，进一步得到新的相等线段，相等角，乃至直线的位置关系，通过这些新的数量关系，还可以得到特殊的几何图形，甚至是新的全等三角形。如图12，可以得到等腰△AFC以及△ABF≌△AEC;如图13，可以得到等腰△CBE及直角△CAB和直角△CAE;如图14，可以得到等腰直角△ACD.

结论

我们在经常遇到全等三角形通过图形变换后的题目，直接让学生解题，却忽略在教授过程中让学生感受图形变换中不变的量，以及衍生出的新的数量关系以及图形特点。通过图形变换感受其中数的不变性，再由数的不变性得到形的关系，是我们应该让学生明白的数形之间的本质，由小见大，应用的增多，开拓思维，增长见识。