由递推公式求数列的通项公式方法例读

高鑫

摘 要 数列一直是高中数学的重点题型，特别是在综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文介绍新课改下高考中经常出现的一类求数列通项公式的方法，通过分析该类题型，运用分解、转化等思想，给出由递推公式求数列的通项公式常用方法。

关键词 高中;数列;通项公式

中图分类号：G718.2

文献标识码：A

文章编号：1002-7661（2019）27-0152-02

解决递推数列的基础是掌握等差、等比数列的定义以及它们的通项公式和前项和的公式。近几年高考中的选择题、填空题和解答题也增加了对这类知识点的考查。以下列举了几种常见的由递推公式求通项公式的方法。

1.累加法

一般地，对于已知条件形如“ ”的求通项公式的题目，若的和比较好求，我们可以采用此方法来求，即。

例1[河南洛阳2016模拟]知数列满足，，则通项

2.累乘法

一般地，对于形如“已知，且“”的题目，可通过累乘法求数列的通项公式.即。

例2[浙江金丽衢十二校2015第二次联考]知数列满足3.构造法

当数列前一项和后一项，即和的递推关系较为复杂时，我们通常对原数列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。常用的变形方法有以下几种方法。

（1）待定系数法

①一般地，对于（为常数）型，可化为的形式。重新构造一个以为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求，最后求。

②对于（其中为常数）型，一般我们讨论两种情况：

a）

当为一次多项式时，即数列的递推关系为（为常数）型，可化为

b）

当为指数幂时，即数列的递推关系（为常数）型，可化为的形式.构造出一个新的等比数列，然后再求。

当然，对于这种形式的递推关系求时，当时，我们也会采取另一种方法，即等式左、右两边同除以，重新构造数列来求。

（2）倒数法

一般地，对于形如，的递推关系，可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。

（3）对数法

当数列和的递推关系涉及高次时，形如（其中，为常数）等，一般采用对数法，等式左、右两边分别取对数，进行降次，重新构造数列进行求解。

例3[河北衡水2015四模]已知数列

4.归纳猜想法

当我们在求数列通项无从下手时，归纳猜想法不失为一种权宜之计，观察数列特征，找出各项的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。

利用归纳法求数列的通项公式可抓住以下特征：

①项与次数的变化特征，如平方关系，倍数关系;

②相邻项的变化特征;

③拆项后的特征，变化部分和不变化部分的规律拆开看;

④分式中分子、分母的特征：分子、分母分別找通项，同时注意观察分子、分母间的关系;

⑤各项的符号特征和绝对值特征，如奇、偶项正负交替，用或调节;

⑥借助一些基本数列的通项公式变形。

总而言之，根据递推公式求数列的通项，其中蕴含的是数学中的化归思想，将抽象的转化为具体的、特殊的转化为一般的，未知的转化为已知的，努力将复杂的转化为简单的。

参考文献：

[1]刘清华.数列递推公式求通项公式常见方法[J].昭通学院学报，2017（S1）：54-57.

[2]姜传盛.由递推式求数列的通项[J].数学学习与研究，2013（03）：85.