周期性自发调节下非线性经济周期模型动力幅值分析

文/赵君，1.天津外国语大学英语学院国际商务系；2.“一带一路”天津战略研究院

1 引言

随着世界经济发展呈现繁荣、衰退、萧条、复苏周期性发展现象，使人们逐步认识到经济系统受到多种复杂因素影响，不再是一个简单的线性经济系统。目前，关于经济周期已形成了颇为丰富的理论，成为了宏观经济学研究的重要分支。对于非线性经济周期模型的研究已成为近年来经济周期理论研究的热点问题，揭示了不同复杂条件下非线性经济周期模型经济指标演变规律与控制因素，提出了宏观调控市场经济活动的原则与措施，研究成果显著。本文结合Goodwin 经济周期模型与Puu 非线性经济周期模型，以谐波函数作为模型的自发函数，建立了周期性自发调节下非线性经济周期模型。

2 周期性自发调节下非线性经济周期模型

结合Goodwin 经济周期模型与Puu 非线性经济周期模型，投资函数假定为自发投资、前期收入相关的函数

其中，It为现期投资；I0t 为自发投资；v 为资本-产出率，一般情况考虑v＞0 的情况。Puu 采用前两个时期收入差一次与三次方形式，模拟政府对公共基础设施投资的反周期性。

同时，消费函数假定自发消费、补充储蓄率和前期收入相关的函数

本文采用李佼瑞的方法将差分方程转换为微分方程进行研究经济周期的动力响应。此三种函数形式可以模拟不同的经济环境影响。采用周期函数可以模拟经济活动按照一定的周期规律自发调节，如下式所示

其中，q为投资强度系数，ω为自发调节变化频率。

3 隐式增量谐波平衡法

本文采用一种隐式增量谐波平衡法研究周期性自发调节下非线性经济周期模型动力幅值变化规律。当傅里叶级数选取适当的项数，所获得周期解与式(3)的精确解符合良好。

收入Y展开为带有N 项谐波函数和的形式

将式(4)代入式(3)将产生很多余弦函数与正弦函数乘积形式。将相同频率倍数的余弦函数与正弦函数进行同类项合并，并将同类项系数表达式等于0，便获得了m项带有am 与ω的非线性代数方程，

当收入Y包含有较多项余弦函数与正弦函数时，求解式(5)每一项代数表达式是一项费时费力的工作。本文采用Cheung 和Iu 提出的一种隐式谐波平衡法进行计算机编程求解。

式(5)的非线性代数方程的残差可以通过对式(3)逐项推导获得。将式(4)代入式(3)，逐项推导如下

采用谐波平衡法，将以上表达式中相同cs(pmωt)的系数合并，归到式(5)的第m项残差中。对于收入Y 的时间导数，由于谐波函数的导数仍为谐波函数形式，所以引入相应标引参数计算余弦函数与正弦函数的求导结果，

其中，标引参数αm不但记录了求导余弦函数与正弦函数的正负性，而且也记录了求导后的项归为哪项谐波函数的系数代数表达式。

对于项，表达式为

其中，βn，γr，vsmnr都为标引参数，与αm 的作用相同。具体三次余弦函数与正弦函数乘积表达式展开如下

其中，ci= cos(iωt),si= sin(iωt)。

在对相同频率倍数的余弦函数与正弦函数进行同类项合并后，获得包含有A1，...，Am,ω变量的m个非线性代数方程组，将式(3)解的变化规律求解出来。本文采用Lagrangian 公式进行非线性代数方程组解的外推求算。设定式(3)解的曲线弧长s为非线性求解参数，向量A 包含有未知解A1，...，Am, ω，采用二次外推求解每个非线性代数方程组的解，即l=2，则有

初始解可以选择小振幅的线性自由振动的解。在追踪变化频率与振幅关系曲线式时，可以在小振幅可能出现的区间设定初始解。如果有多条变化曲线时，可以设定初始解并改变增量的正负性获得不同的变化曲线。

4 结论

本文结合Goodwin 经济周期模型与Puu 非线性经济周期模型，以谐波函数作为模型的自发函数，建立周期性自发调节下非线性经济周期模型，采用一种隐性增量谐波平衡法对周期性自发调节下非线性经济周期模型动力幅值演变进行了数值分析。收入周期解假设为由正弦与余弦函数的组成的傅里叶级数形式。