中国体育彩票购买者有意择号指数体系的完善与应用

李 刚

（上海师范大学 商学院，上海 200234）

0 引言

2018 年相对于2000 年，中国名义国民生产总值增加7.98 倍，同期中国彩票业销量增加27.25 倍，其中体育彩票销量增加30.48 倍，即从91.14 亿元增加至2 869.16 亿元，国家体育总局体育彩票管理中心自此也成为世界第1 大彩票发行机构。同年，中国国内生产总值合13.6 万亿美元，为美国20.51 万亿美元的66.31%；而中国彩票销量合772.92 亿美元，与美国777 亿美元已非常接近。

与此同时，因购买彩票心理不健康而导致悲剧时有发生，并有加重趋势，这一问题已日益受到社会各界的关注和重视。2018 年12 月21 日，中国体育彩票通过了世界彩票协会责任彩票3 级认证，并已着手向获得最高第4 级认证努力，而世界彩票协会责任彩票框架体系中最为核心的内容就是对彩票购买者的保护，工作重点是“彩票购买者健康心理的引导”。

本文在已有基础上，基于行为经济学视角，以数理统计的定量方法，进一步完善了中国体育彩票购买者有意择号指数体系，方法可以普遍地应用于各种玩法彩票，结果也更加准确，进而提供了一套能够及时而准确地反映中国体育彩票购买者心理健康程度的“晴雨表”。同时，我们将结果与中国福利彩票以外国彩票的代表性品种相应指标加以比较，从而探讨如下几个问题：

1）中国体育彩票购买者有意择号指数体系的完善；

2）各品种中国体育彩票购买者心理健康程度情况；

3）中国体育彩票购买者心理健康程度的影响因素；

4）提高中国体育彩票购买者心理健康程度的建议。

1 文献回顾与评论

1.1 人们购买彩票的原因

早在18 世纪，亚当·斯密在其作为经济学奠基性著作《国富论》中就论及彩票，认为“获得某种大奖的徒然希望是产生这种需求（购买彩票）的唯一原因”。

如李刚等（2006）所总结，Friedman 等（1948）、Kwang 等（1965）、Rubson 等（1979）、Dekel（1999）、Garrett 等（1999）以及Diecidue 等（2003）等研究以传统经济学视角，在理论上证实了完全理性的人也会购买彩票。

行为经济学将行为心理学相关理论融入传统经济学当中，以“行为人”取代“理性人”，发现由于各种认知偏差，相当多数人群有意愿购买一定数量的彩票。例如，在Kahneman 等（1979）的行为经济学基石性的经典论文中，作者就以大量彩票事例，描述了在风险条件下人们的决策方式。

传统经济学视角下的文献，只能说明一部分人会购买少量彩票，但并不能充分解释世界各国家或地区都存在庞大的彩民规模和巨额的彩票销量。例如，2018 年，中国电影票房收入609.76 亿元，图书零售市场规模894 亿，2 项合计仅为体育彩票销量的52.41%。因此，从行为经济学角度出发来研究人们购买彩票的相关问题，更为恰当。

1.2 控制幻觉

1.2.1 控制幻觉的含义

Langer（1975）提出了控制幻觉（Illusion of Control）概念，它是指人们实际上很少甚至根本没有影响外部因素，但却自以为能够控制或者至少影响了外部因素，进而对自己成功的主观可能性的估计高于客观可能性。作者发现，即使在纯粹由运气决定的购买彩票活动中，如果能够主动参与和选择，购买者也会主观错误地感觉中奖的机会更高一些。

通过对国内外相关文献的梳理，我们将彩票购买者控制幻觉分为“ 外界祈福（External Prayer）”和“ 有意择号（Conscious Selection）”等 2 类。

1.2.2 外界祈福

外界祈福，是指彩票购买者向外界寻找启示，以希望提高自身中奖概率。Ariyabuddhiphongs 等（2007）对比了泰国2 组彩票购买者，前者在购买彩票前先到寺庙里寻找一些号码线索（Number Clues），后者直接在投注店里购买彩票。作者发现，相对于后组，前组人群的中奖渴望和迷信思想更为强烈，他们购买彩票的频次和金额也相对更高。

Guryan 等（2008）发现，在美国德克萨斯州的某个彩票投注店销售出大奖，也即这家投注店成为幸运店（Lucky Store）以后，未来1 周该店彩票销量会增加37.7%，相同邮政区的其他投注店销量也会增加14.1%。幸运店效应会逐步消退，到40 周以后将恢复到常态。背后原因在于，大奖开出后，这家幸运店会被宣传为一个“风水宝地”，吸引民众到此购买彩票。

Yuan（2015）在淘宝网收集了52 489 个彩票购买者账户在2 个月内的388 123 个面板数据，发现在当时中国网络购彩被允许情况下，购买者会关注“合买发起者”的历史收益率，进而倾向于跟随近期收益率高的发起者一起合买彩票，尽管实际上前期收益率对未来收益率根本没有任何影响。

1.2.3 有意择号

有意择号是指彩票购买者并非随机而是“主观”地根据某些规则有意识地选择号码。Thaler 等（1988）发现，尽管彩票中奖号码是随机产生的，但人们通常以如生日、门牌号等作为投注号码，并且这个偏好是持久稳定的。进一步，Cook 等（1993）最早明确提出了“有意择号”概念，并将其原因解释为“人们并不接受关于机会的科学观点，而是相信通过采取某些技巧或努力，可以提高彩票中奖概率”。

有意择号可细分为号码偏好（Number Preference）与错误预测（Mis-Prediction）等2 种形式，前者是指购买者会对各号码或组合有不同的偏好；后者是指尽管彩票中奖号码是随机的，但购买者却试图根据过去中奖号码来预测当下中奖号码。李刚等（2018）对这2 种形式进行了详细的梳理，本文不再赘述。

1.3 有意择号问题的负面影响

无论是外界祈福还是有意择号，都体现了彩票购买者不健康的心理，但前者只是导致彩票购买者对自己中奖信心提高进而增加彩票购买量，而后者除了会导致上述问题以外，还会引发另外3 个负面效果。

1.3.1 彩票市场非有效

借鉴 Fama（1970）的思路，Thaler 等（1988）提出了“彩票市场有效性（Lottery Market Efficiency）”概念：1）如果所有择号方法都将取得完全相同的期望收益率，彩票市场是“强有效”的；2）如果不同择号方法期望收益率有所不同，但在任何时候都不可能获得“正”期望收益率，彩票市场是“弱有效”的；3）如果在某些条件下采取某个择号方法可以取得“正”期望收益率，彩票市场是“非有效”的。

在浮动赔率（Pari-mutuel odd）形式下，当期总奖金固定，单注奖金的数量与中奖注数成反比。这样，有意择号行为会导致各个号码的期望收益率不同，进而使得彩票市场不能够是强有效的。Simon（1998）发现，选择那些其他购买者不愿投注的号码，获得的收益率将提高4 倍。

1.3.2 彩票购买者损失惨重

李刚（2009）发现，在中国有意择号程度高的省份，数字型彩票销量占当地城镇消费总支出的比重相对较高。进一步，李刚（2013）发现，彩票购买者存在赌徒谬误心理时，当他们发现某个号码相当长时间内没有成为中奖号码时，就会一直投注这些号码。如果当期没有中奖，下期会投注更多，以希望中奖奖金把现在和过去的投入都赢回来。

同样，Suetens 等（2016）发现，丹麦乐透型彩票购买者，由于有意择号行为，他们投注的号码没有成为中奖号码时，本金全部输掉；即使他们投注的号码成了中奖号码，当期中奖人数过高，单注奖金也会大幅减少。

同时，有意择号程度越强的购买者，越会倾向于投注更多的彩票。这样相对于其他购买者，这些彩票购买者的损失将更为惨重。

1.3.3 彩票发行机构面临运营风险

彩票购买者强烈的有意择号行为，还会给彩票发行机构带来巨大运营风险。原因在于，一旦某些被过度投注的号码真地成了中奖号码时，当期中奖注数就会非常高。若彩票采取固定赔率（Fixed Odd）形式，彩票发行机构就会损失严重。

例如，2008 年5 月3 日中国体育彩票排列三开出“999”的中奖号码，当期排列三全国销量2 746.110 6 万元，直选中奖注数90 084 注，总奖金达到9 008.4 万元，是销量的3.28 倍。为防止类似情况再次发生，次日起中国体彩中心采取“限号政策”。

2 构建方法

2.1 实际中奖注数为0时的处理

2.1.1 构建基础

如果彩票购买者完全随机地选择号码，即随机择号，某支彩票第t 期第i 等奖的实际中奖注数Real Winning Lots）的期望值为理论中奖注数Theoretical Winning Lots），即当期销售注数nt与该等奖中奖概率pt，i之积nt pt，i。

规定比例指数（Rate Index，为第 t 期第 i 等奖的实际中奖注数与理论中奖注数之比，原始偏离指数（Original Bias Index，为比例指数的对数值。即数学

显然，比例指数的期望值为1，原始偏离指数的期望值为0。

2.1.2 零值的影响

李刚等（2018）的方法是，将偏离指数直接规定为“实际中奖注数与理论中奖注数之比”的对数值，也即本文的原始偏离指数。

这样，当实际中奖注数为0 时，此文的“偏离指数”也即本文的“原始偏离指数”为ln（0），是没有意义的。但对于乐透型彩票，这种情况经常发生。例如，中国体育彩票超级大乐透1 等奖中奖概率为1/214 257 12，截至2019 年6月 30 日共销售 1 856 期，1 等奖中奖注数为 0 有 496 期，比例为26.72%。

显然，李刚等（2018）的方法不适于乐透型彩票。

2.1.3 零值的处理

如图1 所示，我们采取如下方法来解决这个问题。

图1 实际中奖注数小于理论中奖注数时的调整方法Figure 1. Adjusting Method when Real Winning Lots are less than Theoretical Winning Lots

1）在购买者随机择号前提下，如果实际中奖注数小于理论中奖注数，找到与之密度概率相同且大于理论中奖注数的注数，本文称其为“ 调整中奖注数（Adjusted Winning Lots，”。 数 学 上= 2nt pt，i-。 规定调整比例指数（Adjusted Rate Index，为理论中奖注数与调整中奖注数之比，调整偏离指数（Adjusted Bias Index，为调整比例指数的对数。

2）如果实际中奖注数大于或等于理论中奖注数，那么调整比例指数等于原始比例指数，调整偏离指数等于原始偏离指数。

这样数学上，

不管实际中奖注数为何值，调整程度指数（Adjusted Degree Index，为 调 整 偏 离 指 数 的 绝 对 值 ，即=abs()。

如此，就彻底解决了实际中奖注数为0 时的问题。

2.2 随机因素干扰的消除

2.2.1 随机因素的干扰

彩票中奖号码为随机事件，就算人们随机选择号码，实际中奖注数与理论中奖注数也会有所偏离，这样就导致了调整程度指数的期望值并且销售注数或者中奖概率越小，调整程度指数的期望值越大。

因此，简单根据调整程度指数的大小，来评价彩票购买者有意择号，就会高估其程度，即将“随机择号”误判为“有意择号”。

2.2.2 随机干扰的量化

当人们随机择号时，如图2 左侧小图所示，横坐标为当期实际中奖人数，纵坐标为与之对应的概率密度，两者构成的函数曲线是均值为nt pt，i，方差为的 正 态 分 布 曲 线 。 如 图 2 右 侧 小 图 所 示 ，保持纵坐标不变，将左图横坐标转换成调整偏离指数，由此形 成 的曲 线 在＜ 0 时的积分（面积S-）的相反数，就是当期实际中奖人数小于理论中奖人数时的调整偏离指数的期望值；同样，由此形成的曲线在BI tA，i＞ 0时的积分（面积S+），就是当期实际中奖人数大于理论中 奖人数时的调整偏离指数的期望值。

图2 不同横坐标轴的密度分布Figure 2. Density Distribution between Different Horizontal Axis

规 定S(nt，pt，i) 为 上 述 2 种 情 况 下 的 积 分 面 积 ，在 数学上

以销售注数10 万注，中奖概率万分之一为例，理论中奖注数即均值为10，标准差为3.162 3。如果图2 左侧小图的横坐标即实际中奖注数为8 时，其概率密度（亦即在图2 的左右小图中对应的纵坐标）标即调整偏离指数

按照上述方法，可以计算出中奖注数从0 至无穷大时，对应的概率密度与调整偏离指数，进而计算出后两者围成曲线（即右侧小图）的积分面积。同样以销售注数10万注，中奖概率万分之一为例，按照上述方法，计算得出S-= 0.0407，S+= 0.0408。

即使彩票购买者随机选择号码，如图3 所示，彩票销售注数或中奖概率越小，S-和S+都会变大，即调整偏离指数的期望值的绝对值变大。此外，实际中奖注数大于理论中奖的情况下，调整偏离指数的期望值要大于相反情况。原因在于，实际中奖注数不可能小于0，但却可以无穷大。

图3 不同销售注数和中奖概率情况下调整偏离指数期望值的绝对值Figure 3. Absolute Value of Expected Value on the Adjusted Bias Index among Different Selling Lots and Probability to Win Prize

2.2.3 干扰因素的剔除

采取如下方法剔除干扰因素：1）当实际中奖注数小于理论中奖注数时，偏离指数（Bias Index，BIt，i）为“调整偏离指数加上图2 右侧小图的S-”同0 之间的最小值；2）当实际中奖注数大于或等于理论中奖注数，偏离指数BIt，i为“调整偏离指数减去图2 右侧小图的S+”同0 之间的最大值。

即数学上

程度指数（Degree Index，为偏离指数的绝对值，即DIt，i=abs(BIt，i)。

显然，在彩票购买者随机择号的情况下，程度指数均值E(DIt，i) = 0。 如此，就彻底消除了随机因素干扰的问题。

2.3 各时频综合指数的构建

以上3 个指数是根据某1 期的某1 奖级计算所得，因此统称为“单期某奖级”各类指数。但是，乐透型彩票有多个奖级，数字型彩票有多个玩法，不同奖级或玩法的中奖概率差异巨大。 如中国体育彩票超级大乐透，根据2019 年 2 月 20 日起新规，共有 9 个奖级，1 等奖概率为 1/21 425 712，9 等奖概率为 1/16.644 2，是前者的 1 287 281倍，因此要综合考察所有奖级或玩法的情况。

2.3.1 单期综合各类指数

规定第t 期的综合比例指数（Composite Rate Index，RIt，C）、综合偏离指数（Composite Bias Index，BIt，C）和综合程度指数（Composite Degree Index，DIt，C）分别为第 t 期各奖级（玩法）各对应指数的均值。

2.3.2 年度综合各类指数

规定年度综合比例指数（Yearly Composite Rate Index，RIY，C）、年度综合偏离指数（Yearly Composite Bias Index，BIY，C）和年度综合程度指数（Yearly Composite Degree Index，DIY，C）分别为Y 年中的所有各期对应指数的均值。

表1 总结了本文各类指数其含义。

表1 本研究各类指数Table 1 List of Each Index in This Paper

3 彩票购买者有意择号行为的程度

为进行跨彩种和跨地域比较，本文样本彩票除了4 支中国体育彩票以外，还包括3 支中国福利彩票，4 支日本彩票，1 支英国彩票，2 支加拿大彩票，以及4 支美国彩票，共计5 个国家18 支彩票。各支彩票截止日期均为2019 年6 月30 日。计算这些彩票的各类指数，结果如下。

3.1 各类单期综合指数

综合表2 和表3，可以发现如下结果。

表2 各支乐透型彩票单期各综合指数Table 2 Each Composite Index on Single Draw for Lotto

1）中外各支彩票的单期综合比例指数均值都非常接近于1。这说明，从长期角度，这些彩票各奖级总的实际中奖注数与理论中奖注数一致。

2）各支彩票的单期综合比例指数和单期综合偏离指数都波动很大。其中，单期综合比例指数的最大值与最小值之差即极差都超过了3，单期综合偏离指数极差都超过了0.8。这说明，各支彩票在各投注期的实际中奖注数 与理论中奖注数都差别巨大。

3）各支彩票的单期综合比例指数中值都小于1，单期综合偏离指数中值都小于0。这说明，各支彩票的中奖情况并非对称分布，而是向左偏，即较多情况下是实际中奖注数较小于理论中奖注数，较少情况是实际中奖注数远高于理论中奖注数。

4）各支彩票的单期综合程度指数的均值都大于0，最小的美国强力球也为0.108 7，最大的中国体育彩票排列五为0.394 9。这说明，各支彩票的购买者都存在显著的有意择号行为。

3.2 各类年度综合指数

综合图4～7，可以发现如下结果。

图4 各支乐透型彩票年度综合比例指数Figure 4. Yearly Composite Rate Index for Lotto

图5 各支乐透型彩票年度综合程度指数Figure 5. Yearly Composite Degree Index for Lotto

1）排除发行首年销售期数较少导致随机因素影响较大的原因外，绝大多数彩票在绝大多数年份的年度综合比例指数都在0.9～1.1。这也进一步说明，长期角度，各支彩票各奖级总的实际中奖注数与理论中奖注数一致。

2）各支彩票的年度综合程度指数都显著大于0。这 进一步说明，彩票购买者都存在显著的有意择号行为。

图6 各支数字型彩票年度综合比例指数Figure 6. Yearly Composite Rate Index for Numbers

图7 各支数字型彩票年度综合程度指数Figure 7. Yearly Composite Degree Index for Numbers

3）图5 和图7 显示，大部分彩票在发行之初，年度综合程度指数较高，但会逐渐下降，基本上3～5 年以后就会固定在一个稳定值。这说明，彩票购买者的有意择号行为是长期且稳定存在的。

4）部分彩票存在异象：中国体育彩票超级大乐透的年度综合比例指数在2008 年—2013 年偏高，在2014—2018 年偏低。5.1 部分解释其原因。美国德克萨斯州的选4 和选3 从2013 年起，综合程度指数有很大提高，5.2.3 部分解释其原因。

3.3 综合分析

3.3.1 跨彩种分析

进一步探讨近4年（2016年—2019年6月）间相关情况。

中国各支彩票年度综合程度指数差别较大。中国体育彩票超级大乐透和福利彩票双色球都接近0.25；中国体育彩票七星彩和中国福利彩票七乐彩都小于0.2；3 支数字型彩票历年指数都超过了0.27，其中体育彩票排列五最大，体育彩票排列三与福利彩票3D 基本相同。

英国大乐透基本都在0.2 以上。日本乐透型的乐透七在0.15～0.2，乐透六一直高于0.2；2 支数字型彩票较小，都接近0.15，且数字4 稍大于数字3。加拿大乐透型彩票乐透649 和数字型彩票选3，尽管玩法差别很大，但都接近0.15。美国2 支乐透型彩票强力球和超级百万都接近0.1；德克萨斯州2 支数字型彩票选4 和选3 都超过了0.3 以上，且数字4 大于数字4。

综合来看，相对于同类型彩票，各品种中国体育彩票综合程度指数较高。

3.3.2 跨类型分析

根据相关彩票历年销售规模以及当年12 月31 日各国货币汇率，得出各支彩票每年销量的美元值，计算出各类型彩票以销量为加权的年度综合程度指数。

如图8 所示，比较相同年份各个国家各类型彩票的综合程度指数可以发现，1）乐透型彩票，中国体育彩票与福利彩票最大，日本次之，欧美3 国最小，各国家间差别“较大”；2）数字型彩票，同样中国体育彩票最大，但欧美3 国次之，中国福利彩票较小，日本最小，并且各国家间差别“很大”；3）整体来看，数字型彩票显著高于乐透型彩票。

3.3.3 跨国别分析

根据销量加权计算某国所有彩票的历年年度综合程度指数，如图9 所示，比较相同年份各个国家彩票的综合程度指数可以发现，中国体育彩票和中国福利彩票最大，欧美次之，日本最小。

图8 各类型彩票历年年度综合程度指数Figure 8. Yearly Composite Degree Index for Each Lottery Type

图9 各国家彩票历年年度综合程度指数Figure 9. Yearly Composite Degree Index in Each Country

总结上述各项结果，可以发现，尽管各国彩票购买者都存在显著的有意择号行为，但目前中国彩票购买者的这种行为程度最大，并且体育彩票大于福利彩票。

4 彩票购买者有意择号行为的表现

各支彩票综合偏离指数的均值有所差别，为统一口径比较，采取如下方法：设“T时期内x条件综合偏离指数”BIT，C(x) 为T时期内满足条件x的所有各期综合偏离指数的均值，“T时期综合偏离 指数”BIT，C为T时期内所有 各期综合偏离指数的均值，“T时期x条件标准综合偏离指数”BI ST，C(x) 为前者减后者之差。另外，中国体育彩票七星彩在号码投注方式上更类似于数字型彩票，因此在探讨彩票购买者有意择号表现形式时，将其置于数字型彩票。

4.1 号码偏好

中外各支乐透型彩票游戏规则各异，但相同之处是，彩票购买者在前区1 至N 共N 个号码中投注M 个号码；发行机构开出M 个“基本号码”，有些机构也会再开出1 或2个“特别号码”，这些号码共同构成了中奖号码。为保证口径一致，本文只考虑前区号码与偏离指数的关系。

4.1.1 单个号码

1） 乐透型彩票。除了中国体育彩票超级大乐透以外，尽管程度有所差别，但其他8 支彩票各号码的标准综合偏离指数呈显著的分区间下降趋势，其中1～12 区间最大，13～31 区间其次，32～75 区间最小。

规定标准综合偏离指数小的号码为“冷号码”，即彩票购买者讨厌选择的号码；大的号码为“热号码”，即彩票购买者喜欢选择的号码。计算各号码冷热程度在各1/3分位区间时标准综合偏离指数。如图11 所示，各支乐透型彩票的冷热号码的各区间标准综合偏离指数差别显著。

2） 数字型彩票。各支数字型彩票，各个位次的冷热号码差别很大。中国各支彩票，各位次冷号码都包括0，而后1 位数还包括1 和2；各位次热号码有所差别，但后1位次都包括6、8 和9 这些中华文化吉祥数字。相同国家不同彩票的各位次冷热号码非常接近。如日本数字4 和数字3，各位次冷号码都有4，各位次热号码几乎都有1 和2。美国德克萨斯州选4 和选3，各位次冷号码都有8，各位次热号码都有1 和2，并且1 都是这2 支彩票各位次最热号码。

图10 各支乐透型彩票中奖号码含有某个数字时的标准综合偏离指数Figure 10. Standard Composite Bias Index when Winning Numbers Contain a Specific Number for Each Lotto

图11 各乐透型彩票各1/3分位区间冷热号码的标准综合偏离指数Figure 11. Standard Composite Bias Index in Each 1/3 Position of the Cold and Hot Number for Each Lotto

计算各号码冷热程度在各1/3 分位区间时标准综合偏离指数，求出各位次的均值，如图12 所示，各支数字型彩票冷热号码的标准综合偏离指数差别显著。

图12 各数字型彩票各1/3分位区间冷热号码的标准综合偏离指数Figure 12. Standard Composite Bias Index in Each 1/3 Position of the Cold and Hot Number for Each Numbers

4.1.2 号码组合

规定第t 期实际加总数（Real Sum）为当期各中奖号码之和的实际值，理论加总数（Theoretical Sum）为其期望值，加总比（Sum Rate）SRt为前者比后者之商。考察各支彩票加总比落在各1/3 分位区间时标准综合偏离指数。

1） 乐透型彩票。如图13 所示，中国体育彩票超级大乐透，中奖号码加总比越大，标准综合偏离指数越大；其它8 支彩票，中奖号码加总比越小，标准综合偏离指数越大。

图13 各乐透型彩票各1/3分位区间加总比的标准综合偏离指数Figure 13. Standard Composite Bias Index in Each 1/3 Position of the Sum Rate for Each Lotto

2） 数字型彩票。如图14 所示，中国各支数字型彩票，中奖号码加总比与标准综合偏离指数略呈倒U 型关系；外国各支数字型彩票，中奖号码加总比越小，标准综合偏离指数越大。

图14 各数字型彩票各1/3分位区间加总比的标准综合偏离指数Figure 14. Standard Composite Bias Index in Each 1/3 Position of the Sum Rate for Each Numbers

4.2 错误预测

4.2.1 短期视角

规定前第y 期实际重复数（Real Repeating Numbers）为第t 期中奖号码与前第y 期中奖号码重复数量的实际值。例如，中国体育彩票超级大乐透第19074 期（2019年 6 月 29 日）的前区 5 个中奖号码是 8、9、13、14、34；前第1 期也即第 19073 期（2019 年 6 月 26 日）是 4、11、19、20、24，与第 19074 期没有相同的号码，则第 19074 期前第 1 期实际重复数为 0；前第 3 期也即 19071 期（2019 年 6 月 22日）是 7、13、14、15、22，与第 19074 期有 2 个相同的号码，即13 和14，则第19074 期前第3 期实际重复数为2。理论重复数（Theoretical Repeating Numbers）为其期望值，重复比（Repeating Rate）RRt，y为前者比后者之商。

1） 乐透型彩票。如图15 所示，中国3 支彩票，前第1期重复比越小，标准综合偏离指数越大；日本2 支和欧美3 支彩票，没有相对显著的关系。不过即使中国各支彩票，间隔期加长，上述现象也会消退，前第1 期最强烈，前第2 期减弱，到了前第3 期已经不显著。

2） 数字型彩票。如图16 所示，中国4 支彩票，重复比越小，标准综合偏离指数越大；日本2 支和欧美3 支彩票，没有相对显著的关系。不过即使中国各支彩票，间隔期加长，上述现象也会消退，前第1 期最强烈，前第2 或第3期依次减弱，到了前第4 或第5 期则已经不显著。

4.2.2 长期视角

规定第t 期第j 个中奖号码的实际间隔期（Real Interval Draws）为这个中奖号码此前最近作为中奖号码的期数与当期的间隔期数的实际值，理论间隔期（Theoretical Interval Draws）为其期望值，间隔比（Interval Rate）INRt，j为前者比后者之商。最小间隔比（Minimum Interval Rate）RINt，min为当期各个中奖号码间隔比的最小值。

1） 乐透型彩票。如图17 所示，3 支中国彩票，最小间隔比越大，标准综合偏离指数越大；日本2 支彩票也表现出类似情况，但程度远弱于中国；欧美3 支彩票，间隔比与标准综合偏离指数没有相对显著的关系。

2） 数字型彩票。如图18 所示，3 支中国彩票，各个最小间隔比越大，标准综合偏离指数越大；而其它5 支外国彩票，间隔比与标准综合偏离指数没有显著的关系。

4.3 综合分析

前文以各1/3 分位区间划分的各指标图，几乎都呈现单调递增或递减的情况，但程度差别较大。计算各指标的“最小值至1/3 分位”与“2/3 分位至最大值”的差额，并取绝对值，规定其为对应有意择号行为的贡献值，以量化出彩票购买者的有意择号程度各表现形式的程度。

图15 各乐透型彩票各1/3分位区间前第1期重复比的标准综合偏离指数Figure 15. Standard Composite Bias Index in Each 1/3 Position of the Repeating Rate on Previous First Draw for Each Lotto

图17 各乐透型彩票各1/3分位区间最小间隔比的标准综合偏离指数Figure 17. Standard Composite Bias Index in Each 1/3 Position of the Minimum Interval Rate for Each Lotto

4.3.1 跨彩种分析

如图19 和图20 所示，中国各支彩票的2 项错误预测指标的贡献值很大，即中国彩票购买者都表现出了强列的错误预测行为，特别是中国体育彩票排列五和排列三，尤为突出。国外11 支彩票，不论是数字型还是乐透型，2项号码偏好的贡献值都很大，即外国彩票购买者都表现出强烈的号码偏好行为，而错误预测非常不显著。对比图19 和图20 与图5 和图7，发现总贡献值大的彩票综合程度指数也高。

4.3.2 跨类型分析

根据3.3.2 同样的方法，根据各支彩票销量加权计算各类型彩票购买者有意择号各表现形式的程度，如图21所示，同样发现，中国各类型彩票购买者表现出了强烈的错误预测行为，而外国各类型彩票购买者表现了强烈的号码偏好行为。

4.3.3 跨国别分析

根据各支彩票销量加权计算各国家彩票购买者有意择号各表现形式的程度，如图22 所示，同样发现，中国彩票购买者表现出了强烈的错误预测行为，而外国彩票购买者表现了强烈的号码偏好行为。

图18 各数字型彩票各1/3分位区间最小间隔比的标准综合偏离指数Figure 18. Standard Composite Bias Index in Each 1/3 Position of the Minimum Interval Rate for Each Numbers

图19 乐透型彩票购买者有意择号各表现形式的程度Figure 19. Degree of Each Manifestation to Conscious Selection for Lottery Players for Each Lotto

图20 数字型彩票购买者有意择号各表现形式的程度Figure 20. Degree of Each Manifestation to Conscious Selection for Lottery Players for Each Numbers

5 进一步分析

5.1 超级大乐透两个异象的解释

5.1.1 中奖号码出现频次的异象

1） 超级大乐透各时期中奖号码的情况。计算这支彩票1～35 共35 个前区号码的某个号码i在某个期间T作为中奖号码出现的实际频率（Real Frequency），并与其期望频率（Theoretical Frequency）相比，得出频次比（Frequency Rate）FRT，i。以 2013 年 12 月 9 日前后为界，将其分为前后2 个期间，并进一步分别以2009 年10 月17 日和2012 年 1 月 1 日为界，将前 1 期间分为 3 个子期间；以 2014年 5 月 7 日和 2019 年 2 月 20 日为界，将后 1 期间分为 3 个子期间。

图21 各类型彩票购买者有意择号各表现形式的程度Figure 21. Degree of Each Manifestation on Conscious Selection for Lottery Players for Each Lottery Type

图22 各国家彩票购买者有意择号各表现形式的程度Figure 22. Degree of Each Manifestation on Conscious Selection for Lottery Players in Each Country

如图23 左侧小图所示，这支彩票在发行之初的2007年 5 月 30 日至 2013 年 12 月 7 日共 1 004 期中，29～35 这 7个号码（下文称为“大号码”）的频次比都远超过1，各个子期间也表现出同样的情况。

图23 中国体育彩票超级大乐透各期间各类号码频次比与标准综合偏离指数Figure 23. Frequency Rate of Each Type of Number and Standard Composite Bias Index of the Chinese Sports Lottery Super Lotto in Each Period

2） 中奖号码异常对彩票购买者投注行为的影响。彩票购买者发现上述现象，就会认为是找到了“规律”，进而过多投注频次高的大号码，而“恰好”这段时期大号码的实际频次高。例如，2011 年 9 月 19 日第 19 110 期，当期销量8 194.183 2 万元，合 4 097.091 6 万注。以此计算，1 等奖理论注数为1.912 2 注。但当期前区中奖号码为30、31、33、34 和35，全部大于等于30。当期基本玩法1 等奖中奖注数高达65 注，1 等奖偏离指数为3.420 2，综合偏离指数为2.008 1。

如图23 右侧小图所示，在“前1 子期间”大号码出现频次高的现象已经发生，这个子期间的大号码的标准综合偏离指数也大于其他号码，但相对校小；在而“后1 子期间”这个现象已经消失，但大号码的标准综合偏离指数仍大于其它号码。

这说明，中国体育彩票超级大乐透购买者的上述行为存在“滞后”现象，即会随着中奖号码实际频次变化情况而慢慢调整投注的彩票号码。

由此就解释了前文3.2 部分显示的中国体育彩票超级大乐透的异象。

5.1.2 超高奖池积累的异象

1） 规则调整前后的奖池规模对比。2014 年5 月5 日起，中国体育彩票超级大乐透规则发生重大调整，如图24所示，随后至2019 年2 月18 日，这支彩票的奖池从4.265 9亿元增加至73.683 9 亿元。作为对比，这彩票在此前奖池规模有限，2011 年 5 月 18 日最高，也不过 4.268 7 亿元，且有15 次因中奖人数过多而被清零。

图24 中国体育彩票超级大乐透历期奖池与销售（单位：亿元）Figure 24. Jackpot and Sales of the Chinese Sports Lottery Super Lotto in Each Draw

2） 超高奖池累积的真正原因。业界人士将奖池超高的原因归咎于这段时期不合理的规则调整，奖级从8 个减少至6 个，各奖级奖金相对中奖概率偏小，因而奖池不断积累。但根据计算，这支彩票1 等奖单注奖金期望值为881.05 万元。而根据其规则，如果奖池超过1 亿元，1 等奖单注奖金最高可达到1 千万元，大于881.05 万元，可以有效泄奖。因此，上述解释并不充分。

更主要的原因在于，这支彩票购买者的有意择号行为很强，在大多数情况，实际中奖人数较少，对应奖金被滚入奖池；在少数情况，实际中奖人数较大，但由于封顶限制，总奖金有限，不能大幅减少奖池，导致这支彩票累积超高奖池。

3） 后续性风险。2019 年2 月20 日起，这支彩票规则再次调整，1 等奖单注奖金期望值减少至725.54 万元。并同步实施浮动奖奖金特别规定，1 等奖单注奖金加上派奖最高可达1 800 万元。如图24 所示，这支彩票奖池开始大幅下降，截止 2019 年 6 月 30 日，已降至 43.720 1 亿元，同年9 月 30 日，又进一步减少至 26.19 亿元。

不过要强调的是，一旦中奖注数超高而掏空奖池的风险，中国体育彩票相关机构必须在事前预防。

5.2 其他相关问题

5.2.1 奖金封顶限制的影响

1） 中国情况。目前中国各彩票都有单注奖金封顶限制问题，为取得更高奖金，彩票购买者普遍存在“倍投”行为，即同时投注多注相同的号码组。这样彩票购买者选择的号码更加集中，也即有意择号程度更强。

中国体育彩票超级大乐透于2009 年10 月17 日起，以及中国福利彩票双色球于2009 年1 月1 日起，在奖池较高情况下，封顶限制从500 万元提升至1 000 万元。对比2 支彩票在规则调整前后各期综合程度指数的均值，超级大乐透下降值0.015 9，下降率5.90%；双色球下降值0.034 1，下降率13.04%。这说明，单注奖金上限提高，会适当削弱“倍投”行为。

2） 国际情况。在日本同样也有奖金封顶限制问题，乐透七为10 亿日元，乐透六为6 亿日元。而英国大乐透、加拿大乐透649 以及美国强力球和超级百万则没有封顶限制。找出各支乐透彩票1 等奖总奖金数量最大的那期，对比该期前后数期综合程度指数的均值。

如表4 所示，有封顶限制的中国和日本的4 支彩票，综合程度指数都减少。而无封顶限制的4 支欧美彩票，综合程度指数都上升。

3） 原因分析。乐透型彩票1 等奖采用浮动赔率形式，即每注奖金为“奖池总额+当期1 等奖奖金总额”与中奖注数之比，且不大于最高封顶限额。当某1 期1 等奖总奖金过高时，奖池大幅下降，下期1 等奖奖金大幅减少。这种情况发生时，奖金是否有封顶限制，对于彩票购买者的“倍投”行为影响是完全相反的：①无封顶限制，同样号码组投注多注，只增加投注成本，但不会增加可能获得的奖金总额。因此，如果奖池累积非常高，彩票购买者为获得更多奖金，投注的号码将更为分散，有意择号程度就会下降。②有封顶限制，受单注奖金封顶限制，为获得更高的总奖金，彩票购买者的“倍投”行为反而加强，有意择号程度就会上升。

表4 一等奖总奖金最高期综合程度指数前后各期对比Table 4 Comparation on Before and After the Draw with the Highest Total First Prize

可见，最高奖金封顶限制，会助长彩票购买者的有意择号行为。

5.2.2 中国数字型彩票游戏规则变化的影响

1） 规则变化情况。中国体育彩票排列三在2008 年5月4 日起实施“限号政策”，即当某些号码投注量过高时，不再销售这些号码。

2014 年8 月26 日起，中国体育彩票排列三和中国福利彩票3D 玩法的各玩法单注中奖奖金提升，其中直选从1 000 元升至 1 040 元，组选 3 从 320 元升至 346 元，组选 6从 160 元升至 173 元。

2） 影响量化。分别计算上述2 个规则变化前后各期的2 支彩票综合程度指数均值。

如表5 所示，限号政策实施前后，中国体育彩票排列三的综合程度指数显著下降，并随时间推移，下降程度加大。而中国福利彩票3D 则因规则没有变化，综合程度指数也保持稳定。

表5 中国数字型彩票规则变化对综合程度指数的影响Table 5 Influence of the Change on Rule for the Chinese Numbers to the Composite Degree Index

单注奖金提高以后，2 支彩票的综合程度指数都显著下降，并随时间推移，下降程度加大，并且中国体育彩票排列三的下降程度更大。

3） 原因分析。实施限号政策，彩票购买者不能大量投注他们所想选择的号码，这迫使他们选择其他号码，有意择号行为被缓解。

单注奖金提高，用比此前少的资金也可以获得相同的中奖奖金，倍投行为就会减少，有意择号行为被缓解。这与5.2.1 中中国体育彩票超级大乐透与中国福利彩票双色球因1 等奖单注奖金提升而综合程度指数下降，原因相同。

5.2.3 各类彩票其他游戏规则变化的影响

1） 单注价格提升。英国大乐透于2013 年10 月15 日起，单注价格从1 英镑上升至2 英镑。加拿大乐透649 于2004 年 6 月 2 日起，单注价格从 1 加元升至 2 加元；2013 年9 月18 日起，升至3 加元。计算2 支彩票价格调整前后各期综合程度指数均值。

如表6 所示，2 支彩票单注价格提高以后，综合程度指数显著上升。原因在于，单注价格提高，彩票购买者的投注成本增加，可选择号码范围减少，有意择号行为被加强，综合程度指数上升。

此外，美国强力球于2012 年1 月18 日以及超级百万于2017 年 10 月 31 日起，单注价格从 1 美元升至 2 美元，但同时玩法也发生了重大改变，因此本文不再计算相应情况。

2） 选择号码集增加。2015 年10 月10 日起，英国大乐透可选择的号码从1～49 改为1～59；美国强力球与超级百万的规则经过多次变化，前区号码数量逐渐增大。计算3 支彩票“号码集增加且价格不变”的规则调整前后各期的综合程度指数均值。

表6 英国和加拿大2支乐透型彩票单注价格提高对综合程度指数的影响Table 6 Influence of the Change on Price for 2 Lotteries in UK.and Canada to the Composite Degree Index

如前文4.1.1 所述，3 支彩票购买者都偏好投注小号码，这样如表7 和表8 所示，选择号码集加强后，他们投注的号码更加集中，有意择号行为增强。

3） 开奖频率增加。中国福利彩票双色球2004 年8 月24 日起，每周开奖次数从2 次增至3 次；日本选三和选四彩票2004 年 6 月28 日起，每周开奖次数从 3 次增至 5 次；美国德克萨斯州的选四和选四彩票2013 年9 月9 日起，每天开奖从2 次增至4 次。

计算各支彩票开奖频率调整前后各期的综合程度指数均值。如表9 所示，各支彩票的程度指数都显著上升。原因在于，彩票购买者购买彩票金额有个预算，开奖频率增加，每次投注金额就会减少，他们投注的号码就更集中，有意择号行为加强。

表7 美国强力球规则变化对综合程度指数的影响Table 7 Influence of the Change on Rule for Power Ball in US. to the Composite Degree Index

表8 美国超级百万和英国大乐透规则变化对综合程度指数的影响Table 8 Influence of the Change on Rule for Mega Million in US. and Lotto in UK. to the Composite Degree Index

6 结论与建议

6.1 结论

6.1.1 中国体育彩票购买者有意择号行为程度偏高

各国各支彩票的历年有意择号程度指数都大于0，综合比例指数却非常接近于0，说明中外彩票购买者都表现出了显著的有意择号行为，但却根本不能提高中奖概率，因此这个行为是非理性的。

相对于中国福利彩票以及外国彩票，中国体育彩票购买者的有意择号程度更高；相对于中国体育彩票乐透型各品种，中国体育彩票数字型各品种的程度更高。

6.1.2 中国体育彩票购买者表现为强烈的赌徒谬误

外国各支彩票有意择号主要表现为号码偏好。中国体育彩票购买者的有意择号主要表现为错误预测，并且无论是短期还是长期，都表现为赌徒谬误，这与中国福利彩票类似，但程度强于后者。

彩票购买者选择自己偏好的号码，如生日号码或文化吉祥号码，虽然不能提高中奖概率，但至少可以获得某些主观效用，因此，这种心理错误的严重性并不大。但如果怀着赌徒谬误心理，长期跟踪此前数十甚至上百期中奖号码，无端地浪费大量时间和精力，仍不能提高中奖概率，并且就算侥幸中奖，总奖金在众多中奖者中均分，单注奖金也很低。因此，这种心理是“错上加错”。

表9 各支彩票开奖频率增加对综合程度指数的影响Table 9 Influence of the Increase of the Draw Frequency to the Composite Degree Index for Each Lottery

6.1.3 彩票规则对购买者有意择号行为有显著影响

中国体育彩票超级大乐透历史上部分号码出现频率过高的异象，导致了这支彩票购买者过度投注这些号码，加剧了有意择号行为。

目前中国彩票业的大奖封顶政策，会加强彩票购买者非理性行为，这在事实上违背了实施这个政策的初衷。

彩票的单注价格、开奖频率和中奖难度的提高，会加强彩票购买者的有意择号行为，而单注奖金提高，以及限号政策，则会缓解这种行为。

6.1.4 彩票购买者有意择号问题对彩票机构意义重大

彩票购买者有意择号行为，会给彩票发行机构带来运营风险。而由于中国大奖封顶限制和购买者更不理性等2 项特色之处，这个影响更为严重。

前文5.1.2 部分，以目前世界上销量第2 大的单支彩票“中国体育彩票超级大乐透”为例，说明了就算只考虑自身风险，中国体育彩票相关机构也必须高度重视彩票购买者有意择号问题。

6.2 建议

以中国国家体育总局及其下属国家体育总局体育彩票管理中心加上各省市体育彩票管理中心等相关机构为能动主体，我们提出如下建议。

6.2.1 制订规则影响彩票购买者有意择号行为

对于中国体育彩票购买者强烈的非理性的有意择号行为，中国体育彩票相关机构可以采取诸多手段完善各彩票品种规则来影响彩票购买者的行为。

如表 5 所示，2014 年 8 月 26 日起，中国体育彩票排列三和中国福利彩票3D 这2 支彩票同时提高了各玩法的单注奖金，它们的综合程度指数也随之下降，但前者下降程度更大。原因在于，除了提高奖金以外，后者还增加了新的玩法。玩法增多，彩票购买者在每个玩法的投注资金量减少，选择号码更加集中，有意择号程度自然上升。因此，不建议中国体育彩票排列三跟随采取这些玩法。

有人提出将彩票单注2 元的价格提高，但表6 显示，单纯提高价格，只是会加强彩票购买者有意择号行为，并且对于彩票销量提高并没有太大正向作用。因此，建议继续保持彩票单注价格2 元，甚至可以考虑将其下降至1 元。

在中国，“倍投”会加强彩票购买者有意择号行为，建议将目前各支体育彩票倍投注数最高限定99 注减少至20注，与高频和快开类相一致。

6.2.2 策略性提高单注奖金封顶限额

中国彩票单注奖金封顶政策，会导致彩票购买者“倍投”行为，加剧了中国彩票购买者的非理性行为。

不过，按照目前规则，中国体育彩票超级大乐透的1等奖奖金期望值为725.539 8 万元。因此，提升封顶限额，还同时需要对玩法进行调整。

这支彩票在2019 年2 月20 日刚刚进行玩法调整，需要一定的稳定性。因此，从第3～9 等奖这些固定奖的中奖条件和奖金，以及后区号码不宜改变，可以考虑调整其前区号码数量。

如表10 所示，如果前区号码从目前的35 增加至40，1等奖中奖概率将减少至1/43 428 528，单注奖金期望值增加至19 480 342 元。

不过鉴于前文5.2.3 部分的发现，英国国家彩票以及美国强力球和超级百万的中奖难度提高时，彩票购买者的有意择号程度会增加。因此，超级大乐透的难度调整应当逐渐增加而不是一步到位，并在难度调整时，加强对彩票购买者健康投注的引导。

表10 中国体育彩票超级大乐透前区号码变化时1和2等奖的期望奖金Table 10 The Expected Prize of the First and Second Class According to the Change of the Numbers in First Position of the Chinese Sports Lottery Super Lotto

6.2.3 继续从严控制高频类各品种玩法

中国体育彩票高频型与中国福利彩票快开型于2010年前后在全国范围推广，随后销量增加迅速。这种彩票开奖频率非常快，以体育彩票“福建11 选5”为例，在2019年2 月调整之前，每天上午8 点至晚上11 点，每10 min 销售 1 次，每天 90 次。

2019 年1 月28 日，财政部、民政部、体育总局联合发文（财综〔2019〕4 号）调整高频快开类彩票游戏规则，要点包括：1）每期销售时间一律统一至20 min；2）倍投最高范围从99 倍减少至20 倍。

虽然我们尚未获得数据，但根据前文国内外彩票开奖频率变化对综合程度指数的影响，可以断定，这种彩票的购买者有意择号行为应当非常高。因此，上述游戏规则的调整，是有助于缓解彩票投注者非理性购彩行为的，应当继续坚持甚至从严，不能因销量下滑就加以放松甚至废止。

6.2.4 加强跨部门跨领域的交流与合作

中国体育彩票相关机构，通过制订合理规则，的确可以缓解彩票购买者有意择号行为，但为更有效地发挥这些规则的作用，进而从整体上减轻中国体育彩票乃至所有彩票购买者的非理性心理，还应当主动与政府部门和社会各界密切联系和配合，这也是中国体育彩票的履行社会责任的重要体现。

6.2.5 向国际彩票领域推广本文指数体系

国家体育总局体育彩票管理中心已经是世界彩票销售规模最大的机构。未来工作，不能仅仅是顺利获得世界彩票协会的最高级认证，还要获得与自身销售规模相匹配的话语权威。

6.3 后续性研究

本文只是完善了体育彩票购买者有意择号指数体系的构建，后续仍有大量工作需要研究。1）外国彩票还仅限于英美日加等4 个发达国家，未来可纳入其他国家尤其是发展中国家的彩票品种，以更“广泛”的进行跨国别比较。2）本文只是探讨全国彩票购买者整体情况，若获得各省份甚至地市层面数据，可以更“细致”地分析各地区体育彩票购买者的情况，并找出彩票购买者有意择号程度与当地经济和人口统计学指标的关系。3）本文探讨各项“共性”指标对于彩票购买者的有意择号行为的影响，未来可单独针对1 支彩票，更“聚焦”地探讨“特性”指标的影响。