探究与正方形有关的线段之间的数量关系

正方形作为最特殊的四边形之一，具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，因而，以正方形为背景的几何综合题层出不穷.在题目中可以求线段之间的数量关系、位置关系、线段的长度、角的度数等等，解题时需要特别明确正方形的性质，善于动手操作、大胆猜想，联想学过的几何基本图形，恰当的添加辅助线，运用几何推理方可得出结论.1 与正方形有关的两条线段的相等关系

例1 如图1，在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在线段CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.

1.依题意补全图1;

2.判断AH与PH的数量关系与位置关系

并加以证明;

分析 1.依题意补全图1，如图2，主要关注：

（1）平移△ADP：平移的方向是沿着DC的方向，平移的距离是DC的长度;

（2）过点Q作QH⊥BD于点H：明确过点Q，作QH⊥BD于点H，垂足是H;

（3）连接AH，PH.

2.判断AH与PH的数量关系与位置关系，这里包含两层意思（1）AH和PH的数量关系，是相等还是不相等，还是几倍的关系.（2）AH和PH的位置关系是平行还是垂直.本题解题时首先应该利用刻度尺和量角器度量后进行猜想，发现AH=PH，AH⊥PH.然后联想学过证明线段相等的方法：三角形全等、等角对等边、平行四边形对边相等.联想证明垂直的方法：直角三角形两锐角互余，矩形四个角为直角.结合本题条件，发现AH和PH所在的三角形，△HAD和△HPQ可以全等.因平移△ADP，使点D移动到点C得到△BCQ，知DC=PQ.由正方形ABCD

可得DA=DC=PQ，∠BDA=∠BDC=45°.QH⊥BD于点H，∠HDQ=∠HQD=∠BDA=45°，HQ=HD，所以△HAD≌△HPQ，HA=HP、∠AHD=∠PHQ.由∠DHP+∠PHQ=90°，所以，∠DHP+∠AHD=90°，∠AHP=90°，HA⊥HP.

反思 本题中正方形ABCD提供了以下重要条件：边相等DA=DC、∠BDA=∠BDC=45°，

然后再充分利用其他条件进行证明即可.2 与正方……