无穷性的悖论与公理集合论思想述略

(昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000)

德国数学家康托尔，1872年至1893年间发表了一系列著述，建立了集合论，他首次引进无穷集合的概念，并证明了实数集合的不可数性，创立“超穷数”理论，提出了自然数集的基数与实数集基数之间不存在中间基数的“连续统假设”；为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。证明了一般的N维空间可以与直线建立一一对应。这一结果连他自己也感到莫名惊诧，他说：“我发现了它，但简直不敢相信”。康托尔深刻揭示了无穷的本质特性，从根本上改造了数学的结构，促进了数学新分支的建立和发展。

康托尔对于数学中无穷问题的深邃洞察力令数学、哲学界为之震惊，不仅成为数学理论的基础，还给逻辑和哲学带来了深远的影响。他认为“数学的本质就在于它的自由”。希尔伯特认为，关于无限的本性的根本的阐述，并非只属于专门科学兴趣的范围，而是人类理智的尊严本身所需要的”。[1]212他称赞康托尔的集合论“是人类理智活动最漂亮的成果”，罗素说康托尔的成就“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。[2]

虽然康托尔的理论，受到一些数学家的反对与质疑，如他的老师克罗内克称康托尔“走进了超限数的地狱”，攻击康托尔的思想是“最具兽性的见解”。但仍有不少数学家坚定支持康托尔，并迫不及待地以他创立的集合论为思想武器，开展了重构数学基础的理论研究。第一个重大进展是意大利数学家皮亚诺所构造的算术公理系统，他在1889年发表的《算术原理新方法》一书中，建立了严密的自然数理论，皮亚诺引入五条公理描述自然数的性质：

1) 1是自然数.

2) 每一个自然数n，其后继数S(n)亦为自然数.

3) 1不是任何自然数的后继数.

4) 不同自然数有不同的后继者.

5) 数学归纳法原则.

皮亚诺自然数公理体系中的归纳公理，即：自然数N的任一子集M，如果1∈M，并且只要X在M中就能推出X的后继者也在M中，那么M=N。柯朗指出：“就像接受简单的普通逻辑规则那样，我们将毫不犹豫地接受它，并把这作为数学推理的一个基本原则。”[3]数学归纳法是以一种很不同的方式来证明无穷序列情形都是正确的数学定理。

在皮亚诺的自然数体系中，通过定义减法可以得到整数系，再引入除法可以很自然地建立有理数体系。皮亚诺公理系统极为简明地给出了自然数集合的性质，并深刻揭示了有限与无限之间的对立和统一。之后，康托尔通过有理数序列的极限，戴德金通过对有理数集合进行“分割”的思想，分别建立了理论完备的实数系，为微积分学建立了一个坚实的基础。1900年，国际数学家大会上，法国数学大师庞加莱曾满怀信心地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到”。

正当数学家们额手相庆，以为严密的数学基础已经建立之际，1903年，“罗素悖论”的出现震惊了数学界，其直观含义可用自然语言阐述为：把所有集合分为两类：(1)正常集合，其特点是集合本身不能作为自己的一个元素。例如由个人组成的人类社会集合并不是一个人；所有自然数组成的集合并非自然数。(2)非正常集合，其特点是该集合本身也属于自己的一个元素。如一切集合的集合仍旧是一个集合；所有观念的集合仍然是一个观念等。现实生活中也存在非正常集合的例子，如所有市场组成的集合仍然是一个统一的大市场；由一切图书馆组成的联盟仍可看作一个超大图书馆。

现假设S是由所有正常集合组成的一个集合，那么S究竟是正常集合还是非正常集合，或者说S属不属于它自身？若S∈S，则S是非正常集合，结果S∈S；如果S∉S，则S是一正常集合，所以S∈S。不论S是否为正常集合都导致矛盾，其悖论性的表现正是：S属于当且仅当S不属于S。策梅罗也曾独立地发现过这一悖论，故又称之为“罗素—策梅罗悖论”。对此，丹齐克写道：“这正好发生在当康托尔征服了他的第一批反对者的顽强抵抗，有充分的理由相信他的原理已经大获全胜的时候。……这一回，就像应用实际无限于数学是否合法的问题一样，康托尔的方法和演绎是否有效的问题再次发生了。”[4]187

1 无穷性问题引发的集合悖论

集合论的中心难点，也在于如何处理无穷集合的问题。正如希尔伯特所言：“数学文献中充满着许多源自无限的愚蠢和荒谬的东西”。他认为“数学中的无限这一概念的意义一直没有完全解释清楚”[1]211。在罗素之前，集合论中就已经发现了悖论。1897年，布拉里—福蒂提出了最大序数悖论。设W为由序数全体构成的集合：W={0，1，2，3，…，w，…}，则W为良序集。又设Ω为W的序数，作为W元素的序数都比Ω小，但是，W是一切序数的集合，所以序数Ω也为W的元素，因此必然导致Ω<Ω的矛盾。

“一切”这个名词如果要在数学上使用的话，应该怎样使用才对？如果这个名词能够自由地使用于心中所能设想的任何动作的话，那么我们便可以说一切集合的集合。现在，如果这是一个康托尔意义的集合，则它必定也有一个基数。这个超限数就是“所能设想的最大数”，因为，难道我们能够设想出一个集合，其势大于一切集合的集合吗？所以，这个基数是最后的超限数，它是我们名之曰数的这个抽象物在其进化中的真正超终极的一步了！然而，刚刚不是说过：没有最后的超限数吗！[4]187-188

罗素悖论不仅触动了逻辑学，而且冲击了集合论，甚至动摇了整个数学的基础。希尔伯特就曾宣称这个悖论对数学界有着灾难性的后果。既然非欧几何的无矛盾性和微积分理论的基础最终都化为对集合论的研究，若集合论出现了逻辑矛盾，那么几何学和微积分的可靠性也将令人担忧。

罗素认为，集合论产生悖论的根源在于使用了自我指称的定义，即一个总体的元素、分子或部分直接或间接地又指称这个总体本身，或者要通过这个总体来定义或说明。如：由多于5个元素的集合组成的集合，这一定义也包含了该集合自身；由所有不多于25个字可以定义的集合S，也包含S。罗素说：“一切悖论……都有一个共同的特征，我们称之为自我指称性或自返性。”“这种恶性循环起源于这样的假定：对象的一个汇集可以包含只能用作为一个整体的汇集加以定义的那些分子”。[7]策梅罗指出古典分析也使用了自我指称的定义，可能包含着悖论，但并非所有的自我指称的定义都会导致悖论。

罗素认为数学只不过是逻辑的一个分支，或者说，数学可以化归为逻辑。数学的概念须用逻辑的概念而定义，数学的定理须作为逻辑的定理而证明。对此，外尔评论说：“古典逻辑是从有穷集及其子集的数学中抽象出来的，……后来人们忘记了这个有限的来源了，误把逻辑当作高于一切数学的东西，最后又毫无根据地把它应用到无穷集的数学上去”。他说：“把所有自然数的全体当作是具有存在的特性的，……，这是我们的困难的根源，悖论的根源也在这里——这个根源比之罗素的恶性循环原则所指出的具有更根本的性质”。[8]50康托尔不可数无限集合极其丰富的内容，实质上已成为有别于数论的关于无限的数学理论。许多长期困扰数学家的疑难问题，归根到底其实是对无限集合系统认识的不完全性问题而不是方法的局限所致。[9]

2 语义悖论与集合的定义

罗素悖论与其他悖论不同，它非常浅显易懂，只与“集合”、“元素”、“属于”和一个基本集合论原则——概括原则有关。其构成也十分清楚明白，与任何“技术性”问题无关。只要把罗素悖论的陈述稍加修改，也可用逻辑学的术语代替集合论中的术语，即可在最基本的逻辑形式中得出罗素悖论：一个性质叫做“自谓的”，如果它可以施用于自己，例如“抽象”一词的性质是抽象的，它本身是自谓的；不能施用于自己则是“非自谓的”，如“具体”一词的含义仍然是抽象的，故其性质是非自谓的。[8]38那么“非自谓的”这一性质究竟是自谓的还是非自谓的？

1925年，英国数学家拉姆塞首次把当时已知的悖论分为逻辑—数学悖论及语义悖论两大类。逻辑—数学悖论出现于数学中，与元素、类、或集合、属于和不属于、基数和序数等数学概念相关，因为不涉及具体事物的内容，可用符号逻辑体系语言表达，又称为“语形悖论”。语义悖论则并非纯逻辑和纯数学的，而是与一些心理或语义概念密切相关，涉及意义、指称、断定、真假等问题。罗素悖论、布拉里—福蒂悖论、康托尔最大基数悖论等都属于“语形悖论”。历史上最著名的语义悖论是“说谎者悖论”，此外还有古希腊哲学家欧布利德提出的“谷堆悖论”及“贝里悖论”等。

说谎者悖论据《圣经·新约·提多书》记载，早在公元前六世纪，克里特岛的先知(埃匹门尼德)说过一句著名的话：“克里特人总是说谎者……”这其中包含了一个有趣的悖论。如果我们坚信这句话，那么作为克里特岛人的埃匹门尼德也必然是个说谎者，结果他的话又不能当真了；若他说的是假话，则有的克里特岛人不说谎，他又可能是说真话的人。虽然假设该话为假，未必会导致矛盾，但设它为真，却可推出其必然为假的结论，也足以令人称奇了。如果我们想依靠有些克里特岛人曾经有时说过真话的历史事实，来解脱这个悖论，在逻辑上是不能令人满意的。公元前四世纪，麦加拉派的欧布里德斯把埃匹门尼德的话，改为一个更加严格的悖论命题：

一个人说：我现在说的这句话是假话。

由这句话可以断定，这个人说真话，当且仅当这个人说假话。对此，古希腊哲人克吕西波认为说这句话的人只不过是发出一些声音罢了，除此之外什么也没表示[10]。历史上，说谎者悖论有许多变形，欧洲中世纪的哲学家对此做过许多专门而精深的研究。悖论一直是逻辑学家、哲学家、数学家研究的热门话题。

谷堆悖论欧布利德认为：一粒谷子是不能形成谷堆的，再加一粒也不能形成谷堆，如果每次只加一粒谷子，而每粒谷子都是不能成为谷堆的，所以，谷子是不能成堆的。

贝里悖论1906年，剑桥大学图书馆员贝里提出一个语义悖论，其意思若用汉语表述则为：“不能用少于二十二个字而命名的最小自然数”。但实际上这个表达式只用了19个字就确定了一个自然数，可是依照定义，该自然数是不能由少于二十二个字而确定的！

上述语义悖论虽然不是数学问题，但同时也都涉及元素与集合的概念，如克里特岛人、谷堆、被刮脸人等分别组成的集合。而且在所涉及的集合中，命题都是自相矛盾的，这无疑对康托尔集合论构成了严重的挑战。

最大基数悖论、布拉里—福蒂悖论以及罗素悖论，都揭示了在康托尔朴素集合论中，存在逻辑基础不够严密的问题。罗素和怀特海认为，悖论的根源在于集合的定义中出现循环定义，即一个对象集合包含着只能用该集合自身才能定义的元素，或者说，用某一对象类定义一个对象，而这个对象又包含着所要定义的对象。1899年，康托尔在给戴德金的信中曾提到，不能谈论“一切集合组成的集合”，但禁止所有集合的集合是与康托尔定义的集合相冲突的。

康托尔曾经把集合定义为“把我们的感觉或思维所确定的不同对象(称之为集合的元素)汇合成一个总体。”这并不是一个严谨的数学定义，只是描述性的说明。康托尔集合由外延原则(集合是由它的元素完全决定的)和概括原则(亦即一条性质决定一个集合)所确定。

根据概括原则，任意的对象都可以作为集合的元素，集合也可以作为集合的元素。特别是如果允许存在“所有集合的集合”，那么将导致康托尔的最大基数悖论。如禁止所有基数的集，便不能引入所有自然数集。此外，由概括原则可得到如下集合：

T={x|x∉x}

那么T是否属于T呢？这就是罗素悖论的根源之所在。该悖论的出现说明应当修改概括原则。对此，数学家提出了不同的方案对集合定义加以限制，希望以此消除其中的悖论。

3 公理集合论对悖论的规避

集合论产生悖论的根源在于集合定义中的自我指称、否定性概念以及与总体、无限的关系。克林指出“非直谓”的定义为：如一集M与一特定客体m用下法定义，一方面m为M的元素，另一方面，m的定义依赖于M，就说这种定义是非直谓的。与之相反的“直谓定义”则是：当需要给出一个整体对象的定义时，要求定义该整体对象的谓词必须与要定义的对象的整体性内容完全独立。从逻辑的观点看，非直谓是自我缠绕或循环的，因为被定义的东西已经渗透到定义中去了。罗素指出，没有一个总体能够包含下列两种元素：它只能由该总体而定义，它或者包括或者预先假定该总体。但经典数学中就有不少非直谓性的定义，著名数学家外尔曾做过巨大的努力，希望清除或改写这些定义，虽然成果丰硕，但未能彻底解决。[8]44

1908年，德国数学家策梅罗首先提出公理集合论思想，为了排除“所有集合的集合”那样的超大集合，避免矛盾，对集合作了一些必要的限制。他提出七条公理：

(1)外延公理：对集合S和T，如果S⊆T且T⊆S，那么S=T。

(2)初等集合公理：存在一个没有元素的集合，叫做空集。对任一集合中的元素a和b，存在集合{a}，{a,b}。

(3)分离公理：对于集合S，命题函数是确定的p(x)，那么有集合T，它恰好只包含了那些x∈S，使得p(x)为真。

(4)幂集合公理：若S是一个集合，则S的幂集p(S)是一个集合。(S的幂集即S的所有子集构成的集合)

(5)并集合公理：若S是一个集合，则S的并是一个集合。

(6)选择公理：若S是非空集合的一个不交集，则有S的并的一个子集T，它与S中的每一个成员恰有一个公共元。

(7)无穷公理：存在一个包含空集的集合Z，使得对每一个对象a，若a∈Z，则{a}∈Z。[11]

策梅罗并未区分集合与集合的属性，两者被视为同义语使用。1922年，弗兰克找出了集合的属性与集合本身之间的区别，对策梅罗公理进行补充和改进，使之成为了现代标准的策梅罗——弗兰克公理系统，简记为ZF统(增加了正则公理、无序对集合存在公理和替换公理)。ZF系统一般不包括有争议的选择公理，因为从选择公理中推出了所谓的“分球悖论”，即把一个球面经过有限剖分之后，可再拼成同半径的两个球面。这个结果明显与人们的经验及经典的数学相矛盾。但选择公理又是许多学科基本定理的前提，特别是抽象代数中更是必不可少的重要公理。如果加上选择公理(记作AC)，则称其为ZFC系统。策梅罗的集合公理化系统，弥补了康托尔朴素集合论的缺陷，成功地消除了所有已知的集合论悖论。

此外，还有一些数学家，也提出和建立了不同的公理集合论。例如，冯诺依曼认为产生悖论的原因不是由于使用了太大的集合，而是由于这些集合被用作了别的集合的元素。只要不承认任何集合都可以作为个体而成为别的集合的元素就行了。据冯诺依曼分析，集合论中悖论的产生，并非由于承认了类作为集合的地位，而在于将其视作别的类的元素，他对“类”与“集合”做出区分，类是大到不能包含在别的集合或类中的集合，而集合是限于可作为类的元素的类。如此，集合就是安全的类。由冯诺依曼、伯尔奈斯、哥德尔等数学家建立的理论被称为NBG系统或BG系统。后来数学家发现，ZF系统中的任何一个定理也是BG系统中的一个定理，反之亦然。公理化集合论的构建，为数学基础开辟了一个全新的平台。

那么，公理集合论是否完全避免了悖论？对此，庞加莱曾说：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈起来了，但却不知道在圈内有没有狼。”[12]著名的数理逻辑学家克林在其所著的《元数学导论》一书中也指出：“假设集论公理化中悖论是避免了——关于这点我们所得到的保证只是消极的，即迄今尚未遇见悖论。”虽然在ZF系统中至今尚未发现矛盾，但其无矛盾性的问题并未最终证明，所以仍旧不能肯定是否会出现新的悖论。在一定意义上说，公理集合论只是绕过了悖论，并没有“解决”悖论。

4 结语

如希尔伯特所言：“自从远古以来，无限问题就比任何其他问题更加激动人的情感。几乎没有任何其他概念如此有成效地刺激着心智”。无限性导致的悖论是数学研究无法回避的问题，它也激起数学家巨大的热情。希尔伯特指出：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能容忍的”。他在《论无限》一文中写道：

试想：在数学这个真理性和可靠性的典范里，每一个人所学的、所教的和所用的那些定义和演绎法竟然导致谬论！如果数学思维也有缺点，那么我们应该到哪里去寻找真理性和可靠性呢？[1]219

面对集合论中罗素悖论的漏洞，20世纪上半叶，罗素、布劳威尔、希尔伯特等数学大师各自提出了不同的解决方案，形成了逻辑主义、形式主义、直觉主义三大著名数学哲学流派。逻辑主义学派认为数学的全部内涵都可以从纯粹逻辑中推导出来，而不必依赖任何特定的数学概念。形式主义流派则认为全部数学都能够由操作数学形式表达的规则所得到，数学思维的基本对象正是这些数学形式符号本身，而不是借用它们来表达的那些数学含义。直觉主义不同意无限制地使用排中律，反对归谬论的证明方法(反证法)。

1922年，希尔伯特提出了一个宏伟的计划重建数学基础，他希望通过对数学的完全形式化，进而证明数学理论体系的“完全性”、“相容性”和“可判定性”。1931年，年轻数学家哥德尔的“不完全性定理”表明，一个包含算术的形式化理论不可能证明自身的相容性，“希尔伯特计划”最终未能如愿。哥德尔在1938年证明了连续统假设与集合论的公理是一致的，即如果集合论的公理是一致的，则推不出连续统假设的否定。1963年，美国数学家科恩证明了连续统假设不能由ZF系统推演出来，即在ZF系统内，连续统假设是不可判定的。这意味着在一个公理集合论中，连续统假设是正确的，而在另外的集合论系统中则可能不成立。

正如平行公理在欧氏几何中成立，但在非欧几何中不成立一样，数学中也存在着若干种互不相同的集合论。从科恩的结论中还可以得出，对于任何一个数学问题并非都是可以证明或否定的，因为数学中的命题除了真、假之外，还存在不可判定的命题。通过集合论的公理化，确实降低了悖论对数学的威胁，数学家终于获得了几分安全感，但这在一定程度上也削弱了人们对数学基础的兴趣。