数形结合方法在初中数学教学中的渗透研究

■广东省开平市第四中学 陆志能

所谓数形结合，就是将数与形实现转化的过程，其中，“数”“形”两者是互助的关系。在初中数学教学中，如果只有数而少了形，数学无法形象地表现出来，如果只有形没有数，数学知识便难以深入。如果将数与形结合起来，不仅能实现旧知识的正迁移，帮助学生完成新知识的构建，还能使学生感受到数学学科的严谨美以及图形美。因此，作为初中数学教师而言，应分析数形结合常见的形式，并根据学生的认知特点以及教学内容，将数形结合方法渗透到课堂中，进而帮助学生建立数形结合的意识，以此完善他们的认知。

一、数形结合常见的形式

（一）以数化形

“以数化形”是数形结合方式的一种。在解决初中数学代数问题时，学生常常不能快速、有效地找到数量之间的关系，这时，图形便能直观地将数量间的关系揭示出来，并且使数量关系更加清晰、明了。教师通过这样的方式，既能丰富学生的解题技巧，也能增加学生领会知识的能力。

（二）以形变数

“以形变数”思想是数形结合的重要思想之一，主要是指通过观察几何图形领会到图形中所蕴含数学知识点的过程。当学生接触到几何图形时，教师便需要引导学生深入挖掘图形中所折射的数学规律，这样能使学生在解决几何问题时找到一定的数量关系，以此提高学生的解题速度。

（三）数形互变

“数形互变”是“以数化形”与“以形变数”的综合运用。而在解决问题时，学生不仅需要由“形”的直观想到“数”的严密，还要由“数”的严密联系到“形”的直观。这种方式常常在直角坐标系与函数之间转化时起着重要的作用，由于直角坐标系中的每个点都有其一个实数与之相对应，因此，借助直角坐标系能使函数有一个更为直观的表现形式，也能在引入直角坐标系时运用代数法进行解答。

二、数形结合方法在初中数学教学中的有效渗透

（一）在“几何图形”中的渗透

数形结合思想是解决几何图形问题的重要思想。在几何图形有关教学中，教师尽量避免纯理论的教学方式，而是更多地采用“数形结合”的方式，这样不仅能使学生的思维由抽象化转化为具体化。例如：在“等腰三角形的轴对称性”教学中，笔者首先引导学生回忆用直尺与圆规画角的平分线和线段的中垂线等相关知识，让他们感受到等腰三角形的形成过程。此外，为了使学生更好地理解并掌握等腰三角形的轴对称性，笔者引导学生在自己所画的等腰三角形中画出角A的角平分线AD，随后指导学生将三角形沿着线段AD对折，使他们直观地看到两边的重合，进而帮助他们体会到两个全等三角形的性质。可见，在“几何图形”中渗透数形结合思想，既能使形与数实现有机融合，还能使他们充分感受到数形结合方法的应用价值，以此提高其自身的数学素养。

（二）在“方程求解”中的渗透

方程是初中数学课程中的重点内容，尤其在列方程时，学生难以找出数量之间的关系，这样便难以求出方程的解。因此，为了让学生更好地理解教材内容，教师应将数形结合的方法渗透到教学中，增强学生对方程的认识。例如：在“一元一次方程”教学后，笔者出示这样的问题，即：一个自行车队进行训练，训练时所有队员都以35千米每小时的速度前进，而一个队员突然加速并以45千米每小时的速度前进，前进10千米后掉转车头，仍以45千米每小时的速度往回骑行与其他队员汇集，这名队员从离队到与其他队员汇集经过了多长时间？在分析这一问题时，部分学生表示出“无从下手、没有思路”。这时，笔者引导学生将“车队”与“这名队员”的运动轨迹运用线段图的方式表示出来，这样相等关系便从图中直观地呈现出来。在此基础上，学生也能从图中观察到“车队”与“这名队员”经过x小时共走了多少路程，这样自然而然地列出方程式，进而找出问题的答案。

（三）在“三角函数”中的渗透

数形结合思想在探索三角函数概念形成的过程中起着重要的作用，它能运用图形直接展示出有关线段之间的关系，以此得到正弦、余弦、正切的概念，还能运用代数的方式将锐角三角形所蕴含的数量关系表达出来，以此使学生深刻理解锐角三角形函数的形成。在“锐角三角形”教学中，为了使学生初步了解正弦、余弦以及正切的概念，并能逐步培养学生观察、比较、分析的能力，同时，帮助学生提高他们对几何图形美的认识，笔者首先提出问题，即：某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一个扬水站对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数为30度，为了使出水口的高度为35米，则需要准备多长的水管？在解决这一问题时，学生需要将文字中的信息以图形的方式呈现出来，进而能更加清晰地看到三角形边、角之间的关系，以此认识正弦的概念。同时，通过数形结合的方式，也使他们对正弦的表示方法有了更加深刻的认识。

（四）在“统计调查”中的渗透

数形结合思想在初中数学“统计调查”模块中起着十分重要的作用。在有关“统计调查”相关教学中，教师需要将数形结合思想渗透到课堂教学中，这样能使学生独立地应用图形，让他们感受到数形结合的精妙之处，还能使学生真正把图形变为数学学习不可分割的一部分。例如：在“统计调查”教学后，教师给学生布置相应的题目，即：调查全校学生喜爱节目的情况。于是学生初步将调查结果分为“新闻、体育、动画、娱乐、戏曲”等不同的维度。在学生调查结束后，如果直接统计人数的总量，便能运用统计表将其表示，这种统计方式虽然能看出喜欢哪项电视节目的人数最多，哪些人数最少，但无法直观化地看到百分比。因此，笔者鼓励学生运用扇形统计图将数据进行统计、分析，这样能使学生快速看到调查结果所呈现出的百分比，也能使学生建立定量分析的概念。

综上所述，初中数学教学不仅仅需要教师引导学生掌握基础知识，更重要的是让学生掌握一定的数学方法。而在初中数学课程中，有很多抽象的基础知识都需要数形结合方式去转换。因此，教师需要将数形结合方式渗透到课堂教学中，逐步锻炼学生的解题方法、创新思维，以此强化学生的数学逻辑思维能力。此外，学生在灵活掌握数形结合方法后，不仅能使这种思想发挥正迁移的作用，帮助自己解决数学问题，还能为今后数学知识的学习做好充分的铺垫作用，进而促进数学素养得以提升。