运筹学原理在矿料级配设计中的应用研究

卢宗益

(自贡市公路水运质量监督站，四川 自贡 643000)

0 前 言

合理的矿料级配组成是沥青混合料、水泥混凝土以及各类稳定土配合比设计中的重要内容，是发挥其最大限度结构强度和获得最佳使用性能的基础。本文以沥青混合料为例分析了现有设计方法的优劣，提出了采用运筹学原理，通过“贝雷法”参数对目标级配进行求解的新方法。

1 传统的设计方法

1.1 图解法和试算法

图解法和试算法计算过程复杂、计算效率低、极易出错，得出比例后尚需应用“贝雷法”参数等检验级配的优劣。

1.2 利用Excel进行规划求解的方法

该方法通过设置约束条件，使用Excel的规划求解功能可以快速地算出各矿料比例。但约束条件设置不统一，多数以掺配比例之和等于100%为目标，各筛孔通过率在要求级配范围内为约束条件，致使在某些情况下得不到解，即使得到解也不能判断其优劣，仅能满足级配范围而已。

1.3 正规方程法

通过构造线性方程组并对其使用人工或计算机求解，数学模型如下：

(1)

式中，k为筛孔编号，i=0，1，2，3……，n；i为矿料种类；Pki为第i种矿料第k号筛孔的通过率；Pk为目标级配第k号筛孔的通过率。

通过计算机求解可快速计算出与目标级配相近的解，但该方法仅仅通过线性回归，未对比例做非负约束，经常无解，或计算出的解部分为负值，且不能判断其优劣性。

2 运筹学原理的应用

2.1 “贝雷法”参数介绍

贝雷法是近年来用于沥青混合料级配设计和检验的完整方法[1],已受到国内外的普遍关注。当合成级配决定后,贝雷法提出三参数CA比[CA]、FAc比[FAc]、FAf比[FAf]对其进行分析,其中表征粗集料内部比例组成的参数是CA比[CA]，计算公式为：

(2)

式中，PD/2为粒径D/2(D为公称最大粒径)的通过率,%；Ppcs为第一控制筛孔(PCS为与公称最大粒径的22%最接近的筛孔)的通过率，%。

CA比[CA]反映了粗集料中大粒径颗粒与D/2～PCS粒径颗粒之间的均衡关系,这种均衡关系将影响沥青混合料的压实特性和路用性能。

FAc比[FAc]用来反映细集料中粗料部分与细料部分的嵌挤、填充情况，计算公式如下：

(3)

式中，PTCS为第三控制筛孔的通过率,%；FAc比主要用于控制级配曲线出现驼峰。

FAf比[FAf] 影响混合料的体积特性。一般VMA值随其减小而增大，计算公式如下：

(4)

式中，PSCS为第二控制筛孔的通过率,%。

贝雷法三参数的建议范围见表1。

表1 贝雷法三参数的建议范围[1]

2.2 矿料级配构成比例计算要求分析

1)要求各矿料按一定比例进行掺配后得到结果的各筛孔通过率最接近目标级配在各筛孔的通过率，即得到∑|Pmk-Prk|的最小值，Pmk为目标级配在第k个筛孔的通过率，Prk为计算结果在第k个筛孔的通过率。

2)要求各矿料掺配比例之和等于100%，且各矿料参配比例均大于等于0。

3)要求掺配后的结果在0.3～0.6不出现驼峰，即满足[FAc]及[FAf]范围要求。

4)要求粗骨料形成骨架，细集料、填料及沥青进行填充达到要求的空隙率，即满足[CA]范围要求。

2.3 数学模型的建立

根据2.2分析可知，要解决的问题属于运筹学中的约束极值求解问题，其标准型式为：

min f(x)

s.t.go(x)≥0，(o=1，2，3……，l)

hp(x)=0，(p=1，2，3……，k)

式中，f(x)为目标函数；go(x)为不等式约束条件；hp(x)为等式约束条件。

具体模型：

Min f(x)= ∑|Pmk-Prk|

s.t.g1(x)=[CA]-[CA]min≥0；

g2(x)= [CA]max-[CA]≥0；

g3(x)= [FAc]-[FAc]min≥0；

g4(x)= [FAc]max-[FAc]≥0；

g5(x)= [FAf]-[FAf]min≥0；

g6(x)= [FAf]max-[FAf]≥0；

h(x)=∑xi-1=0；

xi≥0；

式中，xi为第i种矿料的掺入百分比；[CA]min、[CA]max、[FAc]min、[FAc]max、[FAf]min、[FAf]max为贝雷法参数的下限和上限值。

2.4 数学模型的求解

2.4.1 求解方法的选择

运筹学对约束极值问题的解法有直接法(包括随机方向搜索、复合形法和可行方向法)和间接法(包括内点法、外点法和混合点法)，直接法需要对目标函数进行求导，间接法中的内点法要求初始值在可行域内，外点法初始点无限制[3]。按2.3所述，目标函数为非线性函数且导数难以求得，而要得到可行域内的初始点也非易事，故选择外点法进行求解。

2.4.2 外点法求解模型

根据2.3数学模型构造惩罚项得到新的目标函数将约束问题转换成无约束问题得：

minØ(x,M)=min {f(x)+M∑G(go(x))}

式中，go(x) ≥0时，G(go(x))=loggo(x)，go(x) <0时G(go(x))=0;

M为罚因子取初值5，每次迭代按2倍增长。

为严格约束各掺配比例之和等于100%，将h(x)=0改写为不等式约束g7(x)= ε-∑xi-1≥0。

构造出新的目标函数后可采用无约束优化问题解法进行求解，根据实际情况选择步长加速法[3]，该方法无需对函数进行求导等操作，适于计算机求解。

2.4.3 求解的C#代码实现

Vector Msut(Vector X)//外点法求解主程序

{

Vector X,int C=1000,int M=5,double e=0.00001;

While(C>0){

C--;M*=2;Vector V= Stepsize(Ø(x,M));

if((X-V).Mod

}}

VectorStepsize(Vector X,Function F)//步长加速法求解程序

{

Vector X_copy = X.DeepCopy();intC = 1000;double e=0.00001;

while (C>0)

{

C--; if (S

for (int i = 0; i < X_copy.Dimension; i++)

{

Vector E = Vector.Zeros(X_copy.Dimension);E[i] = step;

X0 =F(X0+E) < F(X0)?X0+ E:X0;

X0 =F(X0-E) < F(X0)?X0+ E:X0;

}

if (X_copy ==X0){ S=S/2;continue;}

Vector V= X_copy + 2 * (X0-X_copy);

if (F(V)

X_copy = X0;S= S /2;

}

return X_copy;

}

2.4.4 计算结果实例

以AC-13C沥青混凝土配合比为例，各矿料筛分数据见表2。

表2 矿料筛分结果 %

通过程序自动计算各矿料掺配比例为：

碎石10～15 mm：碎石5～10 mm：碎石3～5 mm：石屑0～3 mm：矿粉=20.4∶26.8∶18.8∶28.7∶5.3，级配曲线见图1。

通过图1可以看出，采用本文方法计算的矿料比例能够很好的拟合目标级配曲线，同时计算出的矿料级配[CA]=0.6满足“贝雷法”推荐参数表的要求，能够很好地形成矿料骨架，由于对[FAf]和[FAc]的限制，有效地避免了0.3～0.6出现驼峰的情况。总的来说，很好地满足了矿料级配构成比例计算的要求。级配曲线见图1。

图1 级配曲线

3 结 论

采用运筹学原理，通过“贝雷法”参数对目标级配进行拟合的新方法，有效地弥补了现有矿料级配设计方法的不足，既能高度拟合目标级配，又能通过“贝雷法”三参数控制矿料级配，使之满足粗骨料形成骨架，细骨料有效填充，达到发挥混合料最大限度结构强度和获得最佳使用性能的目的。同时笔者对该计算方法采用了C#代码实现，具有很好的移植性和复用性，不依赖其他软件平台，为配合比设计CAD系统的实现打下了基础。