单层空间网格结构刚性节点优化设计方法研究

叶继红，陆明飞

(1.江苏省土木工程环境灾变与结构可靠性重点实验室，中国矿业大学，徐州 221116;2.混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室，东南大学，南京 211102)

经典的单层网壳结构以合理的结构形式得到了广泛使用。近年来，自由曲面结构以其富有美感的造型，日益得到建筑师和业主的青睐[1]。与双层网格结构相比，单层网格结构不仅轻盈通透，而且可以节约建筑材料[2]。为保证结构传力的连续性，单层网格结构的节点应同时传递轴力和弯矩。例如，中国设计规范《JGJ7―2010空间网格结构技术规程》[3]明确要求单层网壳结构必须采用刚性节点。因此，与双层网架结构、索结构和整体张拉结构相比，单层网格结构的刚性节点受力复杂。同时，节点的性能又显著影响结构的安全[4]、刚度[5－6]、稳定[7－11]和动力倒塌[12－13]等结构性能。因此，新型节点开发是空间结构研究中的一个热点。

一种研发方法是类比Eurocode 3[14]中钢框架结构梁柱节点的设计方法(component method)，借鉴经典节点，同时考虑施工工艺，通过构造设计开发新型节点。典型的节点有FREE节点[2]、半刚性螺栓球节点[15－16]、ORTZ 节点[17]、环状节点[18]、Socket节点[19]、螺纹套筒节点[20]、环形套筒节点[21]、柱板式节点[22]等。文献[23－24]对这类节点做了系统的总结。因充分考虑了构造措施，一般这类节点施工方便，但在受力合理性方面，一般是直接给出节点形式，然后再验证其合理性，因此，这种研发方法往往依赖研发者的经验，而且对节点如何合理受力缺少具体的推理过程。另一种方法是单纯利用拓扑优化方法(topology optimization)开发新节点。Lu等[25]利用拓扑优化方法研发了高层建筑结构中太阳能板连接件。Ren等[26－27]对海牙某整体张拉式结构的节点进行了拓扑优化。赵阳等[28]进行了面向增材制造的索杆结构节点拓扑优化设计。Seifi等[29]以世博会阳光谷结构的实际节点为研究对象，力与位移边界条件如图1所示，研究了仅轴向力作用下节点的拓扑优化。Seifi等[30]利用BESO方法对空间刚性节点进行了拓扑优化，但仅考虑了一个方向上的转动刚度。在文献[29－30]中，拓扑优化是在给定了杆件截面尺寸后进行的，其优化节点对其它尺寸的截面并不适用。同时，与双层网格结构、索结构和整体张拉结构的节点不同，单层网格结构的节点不仅须传递轴力，也须传递弯矩；与框架节点不同，单层网格结构的节点并无明显的主轴与弱轴之分。因此单层网格结构的节点受力更为复杂，设计要求更为苛刻。随着空间网格结构形状多样化的发展，节点的几何适应性要求和个性化要求更高，传统的设计研发方法难以全面满足新时代的设计需要。

图1 文献[29]中的力及位移边界条件Fig.1 Loads and boundary conditions in Ref [29]

本文介绍了一种节点优化设计方法——将拓扑优化设计和构造设计相结合。对节点连接端，依靠工程经验考虑连接、施工等要求，通过构造设计合理的连接界面实现可靠、通用、方便的连接；对节点的受力核心区，采用拓扑优化，设计出受力合理的结构形式。在拓扑优化过程中，若将力与约束直接作用在设计域，则人为假定该区域的单元存在，限制了探索更多结构形式的可能；若优化模型中考虑应力问题，则加载点附近可能会出现应力奇异，同时，拓扑优化的结果会因力与位移边界条件的微小改变而迥然不同。在刚性节点设计过程中，必然要解决杆端力、等效节点集中力和边界条件如何合理施加的问题，并降低拓扑优化结果对边界条件的敏感性，以得到稳定、可靠的优化结果。本文对上述诸多技术难题提出了相应的解决方法。然后以一个实际结构中的节点为研究对象，利用上述方法和技术手段研发了新型节点。与传统节点相比，经优化设计的节点受力合理、连接可靠、施工方便，验证了优化设计方法的适用性。最后简介了实现优化节点的技术手段——先进制造技术。

1 空间结构节点基本组成部分

了解空间结构基本组成部分是进行节点优化设计的基础。Arciszewski[31]对空间钢结构节点进行了细致而全面的研究，将节点分解为八大基本组成部分，如图2所示。杆件内力通过连接⑦传递至节点端②，最后经连接⑥，传递至由元素①和元素⑤成的节点核。最终，所有杆端力汇集于节点核，形成平衡力系。

图2 节点系统基本组成部分Fig.2 Components of a node system

因所有的杆端力均汇聚到节点核，节点核最容易发生强度破坏；同时，节点变形也主要发生在节点核，因此节点核对节点刚度的影响最大。在各个连接均安全可靠的前提下，节点核的力学性能对节点的整体性能至关重要。因此，本文利用拓扑优化方法，寻求有限的材料如何在节点核设计空间中放置，从而提高节点的力学性能。

节点端(元素②)一端通过连接⑥与节点核相连，一端通过连接⑦与杆件端相连。因此，节点端的形式决定了具体的连接方式、节点安装方法和整体结构施工工艺。合理节点端的选取不仅须考虑力学特性，也须考虑施工工艺。这是拓扑优化方法所不能完全考虑的，必然需要工程经验。因此，本文借鉴component method，构造出合理的节点端形式。

2 待优化节点

球面网壳、柱面网壳和自由曲面是常见的单层网格结构形式。本文以一般中等跨度 50 m的单层网格结构的顶点为研究对象，该节点在结构中的位置见图3(a)中红色虚线圈所示。与该节点相连的 6根杆件均为Φ140 3的圆钢管，每根杆件的长度为3.142 m。原始节点为传统的焊接空心球节点，如图3(b)所示，该焊接空心球节点的性能分析见4.4节。以传统焊接空心球节点作为对照节点，验证优化后节点的性能。为减少节点用钢量、提高节点性能，通过构造设计出图3(c)所示节点基本构型。其中六棱柱部分为待拓扑优化的节点核心区设计域，与杆件相连的方形球面部分为节点端。

图3 一般单层网格结构及示例节点Fig.3 A single-layer grid-shell structure and the corresponding illustrative node

3 节点构造设计

因圆钢管无方向性，高空安装过程中可以免去方向调节，在单层网格结构中普遍使用。因此，在设计节点端时，假定杆件截面形式为圆管。

3.1 节点性能要求

文献[24]结合节点的功能特性和市场需求，对新型节点提出了5项原则，其中包括几何适应性和误差容忍性。几何适应性是指：随着单层网格结构的造型日趋丰富，空间杆件的相交趋于复杂，节点对相连杆件的切面投影角、切面外倾角和轴线转角应有良好的适应能力。节点的几何适应性决定了该节点的市场潜力。误差容忍性是指：节点对制造和安装过程中出现的偏差能有效控制和调整。节点的误差容忍性关系到整个结构的安全和施工工期。

针对本文中的节点和圆管杆件，具体要求如下：

1)节点无方向性要求：节点的力学性能不因杆件连接方位的不同而发生变化。无方向性节点施工方便，剔除了因高空施工错误而导致的力学性能改变，安全可靠。典型的无方向性节点如Mero标准节点、焊接空心球节点等。

2)几何适应性：无论杆件的空间位置导致多么复杂的连接界面、切面投影角、切面外倾面和轴线转角，节点应与杆件紧密、可靠地连接。

3)辅助对中要求：节点应有相关措施，保证所连杆件的轴线交汇于节点的形心。因空间结构的拼装有时在高空进行，杆件对中难度大。杆件不对中会造成节点次应力，同时造成结构缺陷，显著降低结构稳定性。因此节点应具有辅助杆件对中的构造。

4)微调节能力：因制作、施工误差及施工过程中结构变形等因素，节点应具有微调能力以容忍误差。

5)杆件适应性：一种节点能与截面规格相似的多种杆件可靠连接。首先，空间结构中的节点一般与多跟杆件相连，当这些杆件截面尺寸不一时，节点应能适应所有相连杆件；其次，在一个网格结构中，在一定范围内减少节点种类，可方便施工，实现规模生产，降低成本。

3.2 方形球面杆件端

针对3.1节中的五项具体要求，将图3(c)中的节点端设为方形球面节点端，整个节点如图4所示。球面以节点的形心为球心，半径为R，方形杆件端的边长为a。通过设置方形球面杆件端，可以满足上述五项具体要求。

通过对称设置节点端和等边六棱柱节点核(待拓扑优化)，实现了节点无方向性。在圆管杆件加工过程中，只须保证杆端截面与杆件轴线垂直，则球形连接界面和圆管杆件可实现紧密的连接，且杆件轴线必然交汇于球心。同时，在球面连接界面上还可以采用诸多其它成熟的连接方式，例如螺纹套筒连接[20]、Okata-S[32]连接等。当杆件外径小于a时(a的几何示意见图4)，即节点端尺寸大于杆件外径时，则杆件可沿着球面进行一定的调整以满足复杂的角度，具有微调能力，如图5所示。同时，由图5可得，理论上无论杆件的壁厚取多少，只需杆件外径小于a时，杆件均可与该节点可靠连接，实现良好的杆件适应性。

图4 经构造设计的优化初始节点Fig.4 Initial node considering the structural requirements

图5 不同尺寸的杆件与节点在不同角度进行连接Fig.5 Bars with different sizes connected to the node towards different directions

4 节点核拓扑优化

4.1 拓扑优化方法

拓扑优化是利用科学方法寻求有限的材料如何在空间中分布，从而得到最佳的结构性能[33]。对于受力复杂的结构，拓扑优化的结果普遍优于依据经验的优化设计结果。主要的拓扑优化方法有均匀化方法、变密度合法、水平集方法以及渐进结构优化法等[33－34]，其中变密度法中固体各向同性材料惩罚模型(SIMP方法)的应用最为广泛[35－36]。SIMP方法以单元的相对密度ρ表示单元的状态。当ρ=1，表示该单元存在；当ρ=0，表示该单元不存在；同时允许单元相对密度在0~1之间连续取值，即允许中间密度单元的存在。则所有单元的相对密度ρ=[ρ1,ρ2,…,ρn]，可表示整个结构的状态。为体现中间密度单元对结构的影响，建立中间密度单元与该单元弹性模量之间的关系，如式(1)所示：

式中：ρi表示该单元i的相对密度；E0是该实体材料的弹性模量；p为惩罚系数，一般取值为3。

通过敏感度分析，得到优化目标函数对每一个单元的敏感度。继而，基于敏感度分析结果，利用优化准则法(Optimality Criteria, OC)进行迭代，可以得到下一优化步结构的密度分布，即：

式中：ρk和ρk+1分别为第k优化步和第k+1优化步结构的密度分布。

5.2 节点性能与优化模型

罗永峰和沈祖炎院士[37]研究了节点体对网壳结构承载力的影响，指出当节点体约小于杆长的5%时可以忽略节点的影响。刘海峰等[38]发现，当焊接球节点的直径小于杆件几何长度的12%时，节点对轴力刚度影响较小，而对弯曲刚度影响很大。范峰等[9]研究发现，节点弯曲刚度显著影响结构承载力。对于节点扭转刚度，Fan等[39]指出节点扭转刚度对极限荷载影响很小。因此，弯曲刚度是空间网格结构刚性节点最为显著的力学性能。

传统的框架结构节点可以将节点弯曲刚度分解为绕强轴的转动刚度和绕弱轴的转动刚度。对于单层网格中的节点，难以用正交直角坐标系表示其刚度，可用曲面在该节点的法向向量和切平面表示刚度分量。将节点在切平面内的转动刚度定义为壳体平面内刚度，对与之正交方向上的弯曲刚度称之为壳体平面外刚度。对于球面网壳结构，节点平面外刚度为主导；对于柱面网壳，则节点平面内刚度为主导；对于单层自由曲面结构，则无一般性规律可言。因此，单层网格结构中的节点应具有足够的壳体平面内转动刚度和壳体平面外转动刚度，从而能传递任意方向上的弯矩。

单层网格结构呈现空间受力，结构整体也没有明显的强轴和弱轴，这亦区别于传统框架。同时，正是因为它的空间受力特征，导致应尽可能考虑多种风荷载及地震作用方向，即更多的荷载组合工况。若在优化中考虑如此繁多的工况，则不仅计算效率低下，而且只针对特定的工程和特定的荷载工况，无法实现通用。另一方面，节点的转动刚度是节点的自身特性，独立于外荷载，只有这样才能保证节点在任意荷载工况下均有良好的弯矩传递能力，并具有良好的通用性。

为表示节点的平面外刚度，在每一个节点端施加平面外弯矩，如图6(a)所示，形成自平衡力系My，节点区的柔度(即应变能)为CMy。为表示节点的平面内刚度，在每一个节点端施加单位平面内弯矩，且相邻节点端弯矩方向相反，如图6(b)所示，形成自平衡力系Mz，节点区的柔度(即应变能)为CMz。两个力系的荷载当量相同，故CMy和CMz在衡量节点转动刚度上是相当的。前文已述，与框架结构不同，空间网格结构空间受力，节点需传递两个方向上弯矩，并且没有明显的主轴和弱轴之分，因此，两个方向上的转动刚度应给予相同的权重。节点弯曲刚度的最大化对应于弯曲柔度的最小化。

图6 节点平面内弯矩与平面外弯矩Fig.6 Moment within & outside the plane

综上，一般单层网格结构刚性节点刚度优化模型可表示如下：

式中：优化变量ρ=[ρ1,ρ2,···ρi···ρn]T为单元的相对密度向量；CMy和CMz.分别表示节点核在力系My和Mz作用下，节点域的应变能；F、K和U分别表示节点的外荷载向量、整体刚度和位移向量；m(ρ)表示节点关于变量ρ的质量；mthres表示给定的节点质量上限；σmax(ρ)表示在设计荷载工况下，节点关于变量ρ的最大等效应力(本文图3(a)所示结构的设计荷载为3.45 kN/m2)；f为材料强度设计值，本文选取Q345钢材作为设计材料，f=310 N/mm2。

4.3 拓扑优化关键技术——节点力的施加

拓扑优化的结果与力边界条件和位移边界条件密切相关，边界条件的微小改变会导致截然不同的优化结果。因此，在建立分析模型时，应正确反映各个边界条件，降低优化结果对边界条件的敏感性，从而获得稳定、可靠的拓扑优化结果。

在设计荷载工况下，对杆系结构进行整体分析时，须将节点受荷区内的面荷载等效成集中荷载P施加在节点上。取节点为隔离体，在设计荷载工况下，节点隔离体是在杆端力反作用力和等效节点集中荷载P下的平衡，如图7所示。若将集中荷载P直接施加在节点核，对于式(3)考虑应力的优化模型而言，相当于事先假定加载点附近必然有材料分布，限制了拓扑优化探索更优节点形式的可能。同时在加载点附近也可能出现应力奇异的现象，导致应力约束失真。若不直接以力的形式施加荷载P，而是通过约束处的支座反力实现节点平衡，则优化结果依赖约束施加的位置。当约束施加在不同的位置时，支座反力作用点不同，优化结果不同，呈现出显著的边界敏感性。

图7 节点在等效集中荷载与杆端反力下的平衡Fig.7 Equilibrium of node subjected to the equivalent concentrated load and the counterforces of bar ends

为避免在设计域施加集中荷载以及优化结果对边界条件的依赖，本文提出了在设计空间中施加加速度场，通过惯性力来等效集中荷载。考虑到优化趋于收敛时，节点的质量m逐渐收敛于质量阈值mthres，加速度数值a可按式(4)计算，方向与P相反。通过施加性质为体力的惯性力等效集中荷载，既避免了在设计域直接施加集中荷载可能导致的问题，也使节点达到自平衡，位移边界条件仅仅是为限制刚体位移，降低了优化结果对边界条件的敏感性。实际优化结果也表明，通过该方法处理节点集中力后，将约束施加在任意一个节点端上，优化结果是相同的。

4.4 对照节点的力学性能——焊接空心球节点

对于单层网格结构，可供选择的刚性节点形式并不多。本文选择最为常见的焊接空心球节点。根据设计规范《JGJ 7―2010 空间网格结构技术规程》[3]的设计要求，焊接空心球节点宜满足球外径与球壁厚之比、球外径与主钢管外径之比、球壁厚与主钢管壁厚之比以及球壁厚最小值等各项要求。为使对比具有说服力，应选择较小的节点尺寸。经设计，焊接空心球外径D=400 mm，壁厚t=10 mm，如图3(b)所示。经计算，节点质量为 34.95 kg；在力系My下，焊接空心球节点的柔度CMy=2.9459×10-7J；在力系Mz下，焊接空心球节点的柔度CMz=3.7387×10-7J；经验算，该节点同时满足承载力要求。

4.5 拓扑优化结果

拓扑优化的结构往往以较小的体积、较少的材料获得更优的结构性能。将节点半径R(R的几何示意见图4)设为 200 mm，则优化节点的最大几何尺寸与焊接空心球节点相同。其它尺寸如下：a=140 mm(a的几何示意见图4)，图6(a)中节点总高度为 180 mm，图6(b)中六棱柱节点核边长为180 mm。优化模型中，选择较小的节点质量阈值，令mthres=30.91 kg，利用本文优化模型，借助Altair Optistruct平台，得到优化节点I，如图8所示。优化节点在力系My下，CMy=1.8500×10-7J；在力系Mz下，CMz=2.8500×10-7J。在设计荷载下，满足强度要求。与焊接空心球节点相比，优化后的节点质量略小，但其在两个转动方向上的刚度均有显著的优势。

图8 质量为30.91 kg的优化节点IFig.8 Optimal node I with a mass of 30.91 kg

将质量阈值设为24.58 kg，得到优化节点III，见图9。优化节点在力系My下，CMy=3.6798×10-7J；在力系Mz下，CMz=3.8271×10-7J。在设计荷载下，满足强度要求。优化后的节点在转动刚度上与焊接空心球节点相近，但质量明显小于焊接空心球节点(34.95 kg)。再将质量阈值取中间值26.12 kg，得到优化节点II，其形状与图9相似。优化节点在力系My下，CMy=3.3215×10-7J；在力系Mz下，CMz=3.4520×10-7J。在设计荷载下，满足强度要求。

4.6 拓扑优化结果分析

尽管质量阈值不同，但优化节点的结构形式是相同的，即均优化出双层毂式节点形式。取上半部分为例，如图9(d)所示，节点端受到的力由径向单元将力传递至中心的环向毂结构，类比拱结构，环向毂全截面受力，平衡6个节点端传递来的荷载。下半部分与上半部分的结构形式完全相同，二者对称地分布在节点的最上方和最下方，如图9(c)所示，最大程度地增加力臂，从而高效地抵抗弯矩。3个优化节点和传统焊接空心球节点的对比见表1。由表1可得，经优化的节点质量轻、结构性能优越。

图9 质量为24.58 kg的优化节点IIFig.9 Optimal node II with a mass of 24.58 kg

由表1可得各优化节点的最大应力、CMy和CMz随节点质量的关系，如图10所示。由图10可得，优化节点的最大应力、刚度与节点质量近似呈线性关系。这表明：随着节点质量增大，后增加的材料分布在对提高节点性能最有效的地方，因此节点性能呈现出随质量线性变化的关系。这进一步验证了优化方法的正确性。

表1 节点性能对比Table 1 Comparison of nodes’ performance

图10 优化节点性能随质量变化关系Fig.10 Performances of optimal nodes with different masses

6 结论与展望

本文提出了一种空间结构刚性节点优化设计方法，对优化设计中的技术难点提出了相应的解决方法。以一个实际节点为例，与传统节点对比，进行了说明与验证。主要结论如下：

(1)本文提出了一种将构造设计(经验)与拓扑优化(数值)相结合的单层网格结构刚性节点优化设计方法。通过工程师的经验，借鉴经典节点形式，构造出合理的节点端，创造连接界面，实现杆件与节点可靠、方便、通用的连接；对于受力复杂的节点核，利用拓扑优化方法，探索高效的受力节点形式。

(2)在拓扑优化模型中，通过施加自平衡力系表示节点刚度，避免了优化结果对荷载工况及结构形式的依赖性，使得优化后的节点具有通用性。在拓扑优化过程中，通过施加惯性力等效节点集中荷载，既避免了集中力直接施加在设计域可能导致的应力奇异问题以及节点形式受限的缺点，也避免了支座提供平衡力，使得边界条件仅为限制刚体位移，从而得到独立于边界条件的优化结果。通过上述方法，解决了拓扑优化中关键技术难点。

(3)经该方法优化设计的刚节点，具有无方向性、良好的几何适应性、良好的杆件适应性，并具有辅助对中功能和微调能力。与传统焊接空心节点相比，优化节点以较少的质量获得更好的力学性能。

优化节点可通过多种先进制造方式制造。谢亿民院士团队[29―30]、奥雅纳公司[26―27]、赵阳教授等[28]已经尝试利用增材制造方法直接制造了实际节点。增材制造，亦称3D打印，是一种新兴的工业制造技术，通常是以逐层叠加的方式，通过添加材料而实现三维模型的制造。虽然增材制造降低了人力成本，但所需要的金属粉末价格昂贵。为降低成本，人们提出了诸多增材制造结合传统铸造的方法。例如：以廉价的砂土为材料，3D打印砂土模具，在模具中铸造节点；以廉价的蜡模为材料，3D打印节点，然后挂浆形成模具再进行铸造等等。随着技术的进步和商业化生产，增材制造的成本会逐渐降低[40]，可实现单层网格结构优化节点的工业化生产。

刚性节点的设计方法研究是一个复杂的系统工程。限于篇幅，本文仅介绍了主要的方法。对于节点弹塑性行为、极限承载力、简化设计公式、细部构造等仍有待研究。