高中数学中解决排列组合问题四步曲

聂晶静

【摘 要】排列组合问题是高中数学中逻辑思维比较复杂的一个知识板块，是重要的计数模型，是概率统计的基础，是高考的热点。在学生应用排列组合知识解决实际计数问题的过程中，一是不能将问题抽象成排列组合模型，二是区分不清是排列问题还是组合问题。基于此，本文从具体实例出发，“身临其境”给出了解决排列组合问题的四个关键步骤，帮助学生轻松应对这一难题。

【关键词】高中数学;排列组合;解题策略

排列组合问题是人教A版选修2-3的第一章的内容，对于刚接触这部分内容的大部分学生来说，都会感到囧困。特别是对于一些排列组合的综合问题更望而生畏。但是这部分内容又是培养学生逻辑推理、数学建模核心素养的重要载体，是概率统计的基础，是高考常考常新的热点问题。

筆者认为要想顺利解决排列组合问题，必须深刻理解概念的生成过程;同时掌握有效的解题步骤。今天，笔者将从四个方面突破排列组合问题。

一、解题时常见困惑

学生的困惑归根结底有这样几种。

首先，学生对题目意思搞不懂，不能做到身临其境。例如，4个同学植3棵不同的树，一棵树限1人完成，则不同的植树方法有几种？学生会对“一棵树限1人完成”不理解，甚至是会将此问题与“4个同学植3棵不同的树，每人种一棵树，则不同的植树方法有几种？”混淆起来。

第二，分析问题的角度多，学生感觉应接不暇。例如，7名同学排队照相，甲同学不站在最左边，乙同学不站在最右边，有多少种不同的站队方式？我们可以从甲同学的站队位置分析，也可以乙同学的位置分析，还可以用间接的方法求解。

第三，方法灵活多样，一时间难以分辨。例如，7名同学排队照相，甲、乙、丙三名同学要站在一起，则不同的站队方式有几种？此时要用到“捆绑”的方法;再如，7名同学排队照相，甲、乙同学不能站在一起，则不同的站队方式有几种？而此时又会用到“插空”的方法。等等如此。

第四，重复，遗漏，时有发生。当学生选择了一定的方法和原理后，计算的结果总是跟正确答案有所出入，不是多了，就是少了，最让人恼火的是找不到多了哪些，少了哪些。

总之，这样的问题几乎贯穿了整个排列组合的学习过程，让学生谈“排”色变！

二、抓住要点，逐一破解

其实，想要解决排列组合的瓶颈问题，只要抓住要点，用好以下四步，便可逐一突破。

（一）认真审题，搞清楚整个事件。很多时候学生不是不会做题，只是从一开始就没有搞清楚题目意思，没有弄清楚到底是要做怎样的一件事。

例1：4个同学植3棵不同的树，一棵树限1人完成，则不同的植树方法有几种？

【分析】：整个事件是种3棵树，每棵树限1人完成。所以从树的角度讲，每棵树选到一人即可，一人可种多棵树。所以。

例2：4个同学植3棵不同的树，每人种一棵树，则不同的植树方法有几种？

【分析】：整个事件是4人植树，每人种一棵树，可以多个人种一棵树。所以从人的角度讲，每人选到一棵树即可，所以。

所以只要搞清楚要做的是一件什么样的事情，问题就迎刃而解了。

（二）找到特殊元素，特殊位置很关键。特殊元素对解决排列组合问题起着至关重要的作用。

例3：某班要从5名男生，3名女生中选出5名同学担任5门课的课代表，男生甲必须在内，但是不担任语文课代表，有多少种不同的选取方法？

【分析】：简单的说整个事件是从8人中选5人担任课代表。而甲是个特殊人物，所以先从甲入手，在除了语文的4门课中给甲选一个，然后再确定剩下的4门课代表。

（三）确定原理很重要。当我们把事情弄明白，并且找到了特殊元素同时，还要考虑用什么原理。

分类加法原理：

分步乘法原理：

如果是分类原理，一定要注意分的类别不重不漏;如果是分步原理，则要注意先做什么，后做什么，一共分几步。

例4：某市举办物资博览会，有A，B，C，D，E五个代表团，入住a，b，c三家宾馆。规定同一代表团要住在同一家宾馆，每家宾馆至少住一个代表团。若A，B两个代表团必须安排在a宾馆，那么不同的安排方法有多少种？

【分析】：整个事件是将5个代表团安排到3个宾馆，要求是：（1）同一代表团要住在同一家宾馆，（2）每家宾馆至少住一个代表团，（3）A，B两个代表团必须安排在a宾馆，故而A，B视为特殊元素。

所以将5家代表团分成三个组可以是3，1，1，也可以是2，2，1，故用到分类加法原理。

（i）如果按照3，1，1来分，而A，B两个代表团必须安排在a宾馆，A，B视为特殊元素，所以只需将其他3个代表团分到3家宾馆，每家宾馆住一个代表团即可。;

（ii）如果按照2，2，1来分，A，B视为特殊元素，已经入住a宾馆，所以就意味着剩下的3个代表团有两个入住同一宾馆。先选后排，分步计数原理;

由分类加法原理得：

（四）明确方法，查漏补缺。很多同学喜欢用间接法做排列组合问题，可是总会与正确答案有差距，要么就是减多了，要么就是少减了。这时就需要我们对所分的类认真分析，多减了的要补回来，少减了的继续减掉。

例5：某国际组织有7个成员国，一次会议后要合影留念。A国不站在最左边，B国不站在最右边，有多少种不同得排队方法？

【分析】：整个事件是7个国家站队，A国不站在最左边，B国不站在最右边，故而A，B是特殊元素。如果从A国得角度分析，它可以在最右边，也可以在中间得五个位置，所以用分类原理。

（方法一）

（i）A国站在最右边：

（ii）A国在中间五个位置：此时又要用到分步乘法原理。先给A在中间5个位置选一个，再在除去最右边和A已经站好的位置后剩下的5个位置中给B定一个位置，剩下的5个国家全排。

（方法二）间接法

从7个元素得全排列中减掉A在最左边，再减掉B在最右边的情况，，但是此时，A在最左同时B在最右边得情况被减掉了两次，需要再补回来。

结束语：

综上所述，上述四个步骤在解题过程中要综合考虑。读清楚题目意思，弄明白整个事件，才能合理的找到突破口。找到特殊元素、特殊位置，是为有效分析找准角度。明确所用原理，就是确定解题思路。只有认真反思，养成查漏补缺的好习惯，才能做到万无一失。总而言之，认真读题是基础，找到特殊元素是关键，用好原理是根本，查漏补缺，才能不丢分。

参考文献：

[1]严道顺.例谈排列组合问题得常用技巧和方法[J].中国科教创新导刊，2010（24）.

[2]夏燕军.排列组合问题易混点解析[J].2015（07）.

（作者单位：云南衡水呈贡实验中学）