函数值域的求法

文/陆丰市第二职业技术学校

求函数值域是中学数学的一个重要内容，它贯穿于整个中学数学的始终，也是与实际应用衔接最紧密的内容之一。本文对如何求值域作了系统介绍，对某一类题，用什么方法较为简捷，并用适当的例子加以说明，而且还对每一种方法的概念、适合类型、注意事项等作了全面的概括。

一、观察法

根据函数值域的定义，函数值域可由定义域及对应法则确定，因而对某些简单的函数，可在定义域及对应法则基础上通过观察确定函数值域。

故值域为：y∈(-，1)∪(1，+)

在求这种有理分函数的值域时往往出现两方面错误：一是既然定义域要除去使分母为零的值，值域也一定要除去某些值；另一是不考虑分式的特征而认为值域一定为一切实数。这两方面的错误都应注意避免。

二、利用基本函数的性质

通过对解析式的分式、变形，然后借助于基本函数的值域逐步推求原函数的值域。

所以，y的值域为：(-，)

三、反函数法

当函数存在反函数又不难求得时，可以把求原函数的值域转化为求反函数的定义域。

它的定义域为x∈(-1，1)

所以原函数的值域为y∈(-1，1)

四、配方法

根据式于a2≥0，可以对含有二次三项式的函数进行配方，化成平方式的形式，然后根据定义域求值域。

解：∵-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4

又∵在函数的定义域上，显然y≥0

所以原函数的值域为：y∈[0，2]

五、判别式法

当函数不存在反函数或反函数存在但不易求得时，有时可将原函数转化成一个常数项中含y的关于x的二次方程，利用判别式来求函数的值域，这个方法可用于无理函数的值域的求解当中。

解：原式移项，两边平方整理得：

8x2-16yx+(3-16y2)=0

∵为实数

∴Δ=(-16y)2-4×8×(3-16y2)≥0

六、替换法

替换法除了上述的代数换元法，还有三角换元法。

七、不等式法

利用基本不等式、柯西不等式等来求函数值域。

解：∵x>3

∴x-3>0

=5

所以函数的值域为y∈[5，+)

用基本不等式求值域，应注意不等式的适用范围及等号成立的条件。

八、函数单调性法

九、用方程的观点求函数的值域

下面先给出一个定理：

定理：已知函数y=f(x)(x∈A)的值域为C且关于x的方程f(x)-y=0在A中至少有一解的y的集合为D，那么C=D。

解：原式等价于：

x2-xy+1=0(x>0)

设g(x)=x2-xy+1，由g(0)=1，

函数g(x)的图像与x轴正半轴相交，所以方程x2-xy+1=0在(0，+∞)内有解的条件为y∈[2+)由定理可知函数的值域为y∈[2+)。

十、导数法

很多较复杂的函数的最值可以利用导数求得，这也是寻求某些函数值域的行之有效的方法。这种方法首先求出函数的导数，然后解出导数值为0的驻点，再判别函数的单调性，最后求出值域。

十一、最值法

最大值最小值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上有最大值与最小值。设函数f(x)在定义域[a，b]上的最大、最小值分别是M和m，则f(x)的值域为[m，M]。

十二、极限法

有些函数可运用极限的知识来求值域。

十三、图像法

有些函数可以根据其函数图像求出其值域。

求解函数值域的方法很多，其实各方法之间是相互联系的，一道题可能有多种解法，至于用什么方法好，还需要学生在实践中不断总结。