再现二次函数轨迹

林丽

例题 如图1，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF=PH。

（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（O，5）;

（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式，填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图像;

（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围。

【分析】（1）当P与C（O，5）重合，证明PH=PF即可解决问题。

（2）由PF2=PH2，再根据函数表达式即可解决问题。由题意，得y2= （x-4）2+（y-2）2，整理，得y=1/4x2-2x+5，∴函数表达式为y= 1/4x2-2x+5。

（3）先求出直线FC的表达式，再求出直线FC'与抛物线的交点坐标即可判断。

【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题。

虽然本题始终未提及“二次函数”，但其却是一道不折不扣的“二次函数”压轴题。题目中的点P具有如下特征：到定点（F）的距离和到定直线（x轴）的距离相等，从而得到点P运动的轨迹是抛物线y=1/4x2- 2x+5。也就是说，二次函数可以看作是到定点距离等于到定直线距离的点的轨迹。

【延伸】二次函数图像的顶点在原点O，经过点A（l，1/4）。点F（O，1）在y轴上。直线y=一1与y轴交于点H。

（1）求二次函数的表达式;

（2）点P是（1）中图像上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-l交于点M，求证：FM平分∠OFP;

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标。

【分析】（1）根据题意，可设函数的表达式为y=ax2，将点A代入函数表达式，求出a的值，继而可求得二次函数的表达式。

（2）过点P作PB⊥y轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，则∠PFM=∠PMF，再结合平行线的性质，可得出结论。

（3）首先可得∠FMH=30°，设点P的坐标为（x，1/4x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案。

【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、角平分线的性质及等边三角形的性质等知识。解决本题的关键是熟练掌握基本知识，应用数形结合，才能将所学知识融会贯通。

本题中，点P到定点F的距离和到定直线y=-l的距离相等，同样，点P是抛物线y=1/4x2上的点，亦属于轨迹类问题。

【新题】如图3，以y轴为对称轴的抛物线与坐标轴交于点A（O，4）、B（4，0），y轴上有一定点C（O，3），若点P为抛物线在第一象限内的一动点。

（1）直接写出抛物线的表达式;

（2）如图4，连接PC、PB、BC，△PBC面积的最大值是_____：

（3）如图5，若以P为圆心，PC为半径的圆与x轴相切于点日，则P点坐标是______;

（4）如图6，点D坐标为（2，O），求△PDC的周长最小值。

【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式。

（2）过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，利用铅垂高求三角形面积的最大值。

（3）当OP与x轴相切时，PC=PH，通过方程求出点P坐标。

（4）過P作PH⊥x轴于点H，易证PC+PH=5（定值），而DC始终不变，从而得知当PD与x轴垂直时，△PDC的周长有最小值。

【点评】本题考查了待定系数法、铅垂高求面积、二次函数性质、数形结合等知识，特别是第（4）小题，运用了抛物线的特殊点的特殊性质解决了动点最值问题。

（作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）