一种用于空间翻滚目标接近控制的相对运动建模方法

王伟林，宋旭民，王 磊

(航天工程大学，北京 101400)

0 引 言

在航天活动日益频繁的今天，失效卫星等空间碎片的数量迅速增加，发展空间碎片主动清除技术对于维护太空环境稳定、推进我国的在轨服务能力和维护太空安全具有重要意义[1]。空间碎片没有合作标识、存在不确定性机动的复杂运动状态，对制导控制方法的快速性、实用性、鲁棒性、安全性提出了更高要求。

进行航天器与目标的相对运动建模，是研究目标运动规律和特性识别，开展自主导航、制导与控制的重要前提和基础。一个好的相对运动模型，会得到一个好的轨迹规划，从而使航天器的控制简化，操控精度得到保障。目前国内外学者的研究多沿袭已有的交会对接、编队飞行的相对运动建模方法，或者从便于数值计算的角度进行建立，对相对运动状态的表征能力不足[2]。

1 现有研究综述

1.1 基于对偶四元数的姿轨一体化控制

目前研究较多的一种思路是采用对偶四元数的姿轨一体化方法[3-4]，用对偶四元数来描述惯性系下两者体坐标系的转换关系，即旋转和平移的一般刚体变换。Charles定理指出：任何一般性刚体运动都可以通过绕某个轴的旋转和沿该轴的平移实现，平动和转动的组合像螺旋式的运动，通常用“螺旋变换”或“螺旋运动”描述。对偶四元数是对偶数与四元数相结合的产物，类似于单位四元数可以描述姿态的运动，对偶四元数可以描述刚体的平动和转动，旋量可以看做标量部分为零的对偶四元数(对偶向量)。

但翻滚目标航天器的质心、质量、惯量等信息都是未知，所以确定目标航天器体坐标系存在不确定性。其次，对偶四元数利用向量代数进行运算，形式较为复杂、物理意义不明确，不能采用传统基于矢量的运算法则，导致目前一些成熟的控制算法不能应用，不利于控制器的设计和控制精度分析，需要建立一种更为简洁、快速、工程易于实现的控制策略。

1.2 姿态、轨道的同步控制方法

目前应用和研究最广泛的是基于目标轨道坐标系的相对运动控制方法。CW方程是解决航天器近距离相对运动的线性化方程，其前提条件是目标运行在圆轨道上，两个航天器的相对距离远小于目标器的地心距，基础坐标系原点建立在目标航天器上。TH方程进一步推导得到与偏心率和真近点角相关的解析解，适用于椭圆轨道。CW(TH)方程也是目前航天器交会对接领域应用最广的相对运动模型。

针对非合作目标接近问题，很多学者在此基础上开展了姿轨一体化控制。采用CW(TH)方程作为相对轨道运动模型，并采用欧拉角、四元数或者罗德里格斯参数来描述相对姿态信息，通过建立一体化的运动模型，将姿轨同步问题转换为消除跟踪误差的问题，很多学者基于此模型开展了控制器设计的研究。文献[5-6]基于θ-D方法研究了姿轨同步最优控制的问题。文献[7]基于TH方程研究了基于凸优化算法的制导方案。Sun[8]研究了鲁棒自适应控制器在超近距离相对运动控制中的应用。袁利等[9]基于CW方程和四元数研究了六自由度位姿终端滑模自适应控制器。相对运动模型建立在目标航天器坐标系下，需要将控制输入向捕获航天器本体坐标系进行转换，由于在一个控制周期内，捕获航天器本体姿态角的变化和相对姿态测量误差的存在，会使得姿态影响了相对位置的控制，即存在相对姿态和相对位置的耦合；其次建立在非合作目标上的基准坐标系精度有限，影响控制精度，因此该方法只适用于己方失效目标的捕获。CW制导的轨迹往往会回兜，容易使得轨迹进入禁飞区，存在碰撞风险，另外CW制导的最后脉冲可能比较大、制动时间长，也存在安全隐患[10]。

针对上述安全隐患，在合作目标交会工程实际任务中，近距离导引前段通过差分GPS等测量信息进行相对导航，建立CW方程来描述航天器与目标的相对运动状态；近距离导引末段通常采用基于视线的平行导引方式，指两个飞行器在交会过程中，视线的转动角速度在参考坐标系内为零，也即两者之间的视线在交会过程中保持平行，保证航天器沿视线方向接近目标，越接近目标脉冲越小，较好克服了CW制导带来的问题。

但是在与空间碎片这类非合作目标交会任务中，需要建立坐标原点在捕获航天器上的相对运动方程，传统CW方程并不适用。其次，平行导引法虽然具有良好的轨道特性，但需要知道较多的目标运动信息且对测量信息的准确性较为敏感，鲁棒性较差，并不适用于空间碎片这类非合作目标。通过上述综述分析，由于对偶四元数工程应用性的不足以及传统CW制导不适用于非合作目标交会，目前认为最有应用前景的就是基于视线制导的相对运动模型。

2 视线制导相对运动模型

激光雷达、激光测距仪、成像式交会敏感器是近距离的主要测量手段，特点是精度高、信息量丰富，既有角度信息也有距离信息，甚至相对姿态信息。基于上述相对敏感器提供的测量信息进行近距离制导，视线制导是目前最广泛的近距离制导方式，具有需求信息少、易于实现、鲁棒性强等优点。以视线制导中的比例导引律为例进行说明，比例导引律与平行交会法类似，都是基于速度导引的两点导引方式，控制指令如下：

(1)

考虑到近距离导引段的测量信息中包含相对距离信息，在真比例导引律基础上，引入视线方向控制，从而将传统拦截领域的比例导引律扩展应用到自主交会的制导。

2.1 传统视线制导方法

传统的视线制导相对运动方程建立在视线坐标系和发射惯性坐标系下，如图1所示：

图1 坐标系转换关系

视线坐标系下的相对运动方程为：

(2)

式中：ω为视线坐标系相对惯性系的角速度在视线坐标系下的表达式，ω=[ωx,ωy,ωz]T。

在交会对接任务中，需要考虑目标轨道坐标系中的相对运动，涉及的主要参数是r,α,β。r为追踪器与目标的相对距离，α为视线与其在目标器轨道平面上的投影之间的夹角，也称之为高低角，β是该投影与目标速度方向的夹角，称为方位角。

(3)

式中：ωoT为目标的轨道角速度，一般考虑为小量，可以忽略。从上文公式中看出，常规的视线坐标系下的相对运动存在耦合作用(ωxωy项)。

传统的视线坐标系仅考虑了高低角和方位角，没有考虑视线绕自身的旋转，建立的三维相对运动方程存在耦合因素，不能直观体现与非合作目标的相对运动特性。

2.2 微分几何学在相对运动控制中的应用

微分几何学是用于研究空间曲线运动规律的有效方法，利用曲率和挠率来描述空间曲线的旋转，在制导领域最初应用是用来推导空间纯比例导引律(PPN)。在古典微分几何理论中，空间中任意一点的运动都可以用三个固连的正交矢量{n,b,t}(切向、法向、副法向)来描述，即Frenet-Serret活动标架，Frenet标架在弧长域内的运动学方程称为Frenet-Serret公式，即

(4)

式中：上标“′”表示对弧长s求导，κ为曲线的曲率，表示质点沿空间曲线运动时，其切向发生转动的程度；τ为曲线的挠率，表示质点的密切面(由t和n组成)发生转动的程度。

Chiou等[11]首先在弧长域内构造了理想情况下的弹目相对运动方程：

(5)

式中：上标“′”表示对弧长s求导，“″”代表了对弧长s的二阶导数。并在此基础上提出了弧长域内的微分几何制导指令：

(6)

(7)

因此对比式(5)和式(7)，交会制导方程中多了下面一项：

(8)

从而得到交会制导的曲率和挠率指令(式(9)和(10))。

但文献[12]未考虑挠率，仅研究了二维平面内的交会问题。

(9)

(10)

3 三维相对运动建模及制导律研究

2.2节的公式仍是建立在惯性系下，t代表绝对运动速度方向，中间用到了视线坐标系中的er,eω，er×eω，有必要基于微分几何理论建立描述相对位置和速度的动力学模型，更加直观的反应相对运动关系。

Li等[13]进一步研究了时域化方法，基于Frenet-Serret活动标架理论提出了视线旋转坐标系和视线瞬时旋转平面的概念，将三维空间的曲线相对运动降低到两维空间视线瞬时旋转平面内的相对运动。

(11)

其中，er为相对视线方向单位矢量，eω为视线角速度的方向，定义eθ=eω×er，eθ垂直于视线。从而构建基于er,eθ和eω的视线旋转坐标系。er和eθ组成视线瞬时旋转平面(Instantaneous rotation plane of LOS, IRPL)，eω为该平面的法向。ωs为视线转率，ωs=ωseω。Ωs是eω也即IRPL的旋转角速度，Ωs=Ωser。

视线旋转坐标系的原点设在追踪器的质心，相对速度可以表示为：

(12)

其中，下标t和c分别代表目标和追踪器，相对加速度可以通过对式(12)求导得到：

(13)

将式(11)代入式(13)，相对加速度表达式转换为：

rωsΩseω+Δg

(14)

式(14)可以改写为如下的三个标量子方程：

(15)

其中，at和ac分别代表目标和追踪器的加速度，“r，θ和ω”分别代表控制加速度沿er，eθ和eω三个方向的分量。在后续的推导中式(15)的重力加速度项Δg被省略。

下文将基于视线旋转坐标系下的三维相对运动方程，引入沿视线方向控制，提出视线方向速度可控的增广比例导引律(Augmented proportional navigation, APN)。

3.1 增广比例导引律

3.1.1基于反馈线性化的APN

为实现对目标的自主接近，追踪器的推力(控制加速度)由两部分组成，一部分是沿视线方向，用于控制追踪器接近目标的速度；一个是垂直视线方向，用于控制视线转率。

论文在垂直视线方向的控制采用经典的真比例导引律(True proportional navigation, TPN)，这也是本文提出的增广比例导引律的来源。需要指出的是作者在文献[14]中首次提出了增广比例导引律的概念，研究了两个追踪航天器利用仅测角信息协同接近机动目标的场景，适合于中远距离接近。本文中的增广比例导引律的输入信息是两个测角和相对距离信息，适用于近距离接近场景。

式(15)建立描述三维相对运动的一般模型，从而给出了控制器设计的统一框架。依据式(15)和上述增广比例导引律的设计思路，研究可以得到视线旋转坐标系下的三维相对运动模型：

(16)

式中：N是导航系数，通常取值为3～5。

(17)

其中，acon是acr的常数项。因为目标不机动，所以Ωs等于零，相反如果目标机动，Ωs会逐渐减小到零，因此建立的三维相对运动方程同样可以应用于机动目标的自主接近制导律设计。

(18)

(19)

可以根据式(18)和式(19)，代入初始相对状态，得到追踪器对目标接近时间，及接近速度的解析表达式。

(20)

(21)

将式(19)和式(21)代入式(17)的第2式:

(22)

(23)

利用

(24)

对式(23)积分，得到ωs的解析解。

(25)

3.1.2指数减速型APN

(26)

追踪器和非合作目标的相对运动规律可以通过求解这个二阶微分方程得到。因此可以通过改变式(26)右函数a来得到不同接近轨迹，从而满足不同任务需求。指数形式的相对运动函数关系如下式：

r=r0·eλt

(27)

求导得到：

(28)

(29)

3.1.3基于滑模控制的APN

本小节研究了一种非线性控制方法，基于指数趋近律的滑模控制方法，用于APN沿LOS方向的控制。状态方程如下：

(30)

(31)

(32)

定义基于指数趋近律的控制指令：

(33)

式中：ε和k是参数(ε,k>0)，sgn(·)是符号函数，控制系统稳定性可以通过Lyapunov函数求导得以证明。

(34)

3.2 仿真分析

本小节给出增广比例导引律的仿真结果。目标的初始状态为：半长轴7043.14 km，轨道倾角98°，升交点赤经14°，近地点幅角60°，初始真近点角30°。追踪器相对于目标的初始位置：[4386.28，308.60， 3204.43] m，相对速度[-57.7，2.1，-38.5] m/s。近距离导引段属于相对导航阶段，飞行过程从几公里到百米量级，因此文章认为当两者相对距离达到50 m时仿真结束。下文给出常减速接近、指数接近、非线性滑模控制(SMC)三种制导方法的对比分析，并给出研究结论。图2和图3给出了相对距离和相对速度变量的时间变化曲线。

图2 相对距离曲线对比图

图3 相对速度曲线对比图

图3中横轴代表时间，纵轴代表相对速度，则曲线下的面积代表追踪器和目标的初始相对距离，因此三种情况下都是相等的，常减速模型用时最短，而基于滑模控制的APN用时最长。因为速度曲线的切线是瞬时加速度，滑模控制模型的最大加速度值是三种模型中最大的，因此对推力系统的要求更高，而且其燃耗也是最多的，ΔV=97.9 m/s。在表1中，给出了三种方法的性能比较。

表1 三种方法的比较

采用零控脱靶量(Zero-effort-miss,ZEM)来对制导律的精度进行分析，其值可采用如下公式计算：

(35)

从表1各项数据对比可以看出，常减速APN在时间、燃耗、最大加速度和零控脱靶量几项指标上都具有优势。综上，基于视线旋转坐标系下的三维相对运动方程，通过引入视线方向的控制，建立了可用于非合作目标自主交会的增广比例导引律框架，有效拓展了微分几何理论的应用。微分几何的制导指令加速度施加方向nm在瞬时旋转平面之外，满足下述关系：

(36)

将式(36)代入式(15)得到，得到式(37)，与式(17)对比可以看出，两者本质上可以通过坐标系的转换得到对应的制导指令，两者的区别在于改进的微分几何制导律表达式简洁实用，物理意义明确，可以推导得到解析解，便于进一步开展控制精度分析。

(37)

3.3 姿控模型简化

追踪器在接近目标过程中，需要保证观测敏感器视线始终指向目标，基于微分几何理论引入视线瞬时旋转平面后，只需考虑航天器本体坐标系和视线瞬时旋转坐标系的相对几何关系，避免了复杂的坐标变换，简化了姿态控制模型。

假定观测敏感器安装在航天器本体系X轴方向，考虑到敏感器视场等因素，因此要求X轴与视线方向重合，指向目标。在接近非合作目标过程中，会存在快速、大角度的姿态机动，本文选择误差四元数方法描述航天器相对姿态运动，避免奇异性。选择PID控制器，满足收敛时间快、鲁棒性好、对抗大角度姿态机动有效性好、输出稳定等要求。下文给出了考虑姿态的六自由度控制结果，相对轨道运动模型采用基于滑模控制的APN制导律，并假定姿控发动机为常值推力发动机(1N)，追踪器三轴主惯量为[2, 5, 7] kg·m2，力臂大小为[0.3, 0.6, 0.6]m，初始姿态角和姿态角速率都等于零。

图4 X轴方向控制力矩

图5 Y轴方向控制力矩

图6 Z轴方向控制力矩

图7 误差四元数曲线

根据仿真结果可以看出，追踪器在推力器作用下，能够快速到达期望的姿态，其中在制导初始阶段，因为视线(LOS)方向与体坐标系X轴指向间差别较大，姿控发动机开机较频繁。在接近目标后期，导引头能够稳定指向目标，较好的实现对目标指向跟踪。

3.4 进一步思考

针对上文特定问题，滑模变结构控制虽然在燃耗方面并不占优，但对系统外部干扰具有强鲁棒性，考虑到非合作目标自主交会中测量、目标运动状态等的不确定性，引入滑模控制对提升APN的制导效能有重要意义。第3.1节提出的APN对接近时间并没有要求，而是由初始相对状态决定的。在前文推导相对运动方程过程中，可以通过轴向的控制实现对接近时间的控制。实现对非合作目标有限时间接近，这对于空间碎片主动清除、空间救援等时间紧急任务具有重要意义。因此本小节将引入有限时间收敛的滑模控制律，从而建立有限时间接近制导律(Finite time convergence augmented proportional navigation, FTCAPN)。

3.4.1控制器设计

(38)

式中：ε>D>d(t)，β>0，1>η>0，β增加或者η降低都可以增加收敛速率，加速对目标的接近过程。

3.4.2仿真分析

仿真初始参数同第3.2小节，滑模控制器参数取c=0.1，ε=5，β=2，η=0.1，仿真结果如图8～10所示。

图8 视线转率曲线

图9 相对速度曲线

图10 相对距离曲线

图8给出了视线转率的变化曲线，60 s后保持稳定，整个过程的收敛时间约83 s。从图9和图10中看出，追踪器与目标的初始相对速度较大，后迅速减小，实现对目标的快速接近，整个过程的燃耗为98.5 m/s。

从仿真结果中可以看出，基于现有的控制参数设置，FTCAPN可有效完成快速接近目标的制导任务。

4 结 论

针对与空间非合作目标相对运动问题，本文首先对当前已有的几种相对运动建模方法进行了综述分析。对偶四元数不能采用传统基于矢量的运算法则，形式较为复杂、物理意义不明确，缺乏工程适用性；CW方程建立在目标航天器上的基准坐标系，适用于合作目标交会，对于非合作目标的接近制导问题，存在轨迹回兜、末端脉冲较大、模型精度受限等问题。

基于微分几何理论的增广比例导引律可克服上述制导方法的不足，物理意义明晰、鲁棒性强、制导精度高、工程实现容易，通过公式推导分析了增广比例导引律与传统视线制导、微分几何制导的不同，并给出六自由度仿真算例，验证了其可行性。