二阶常系数非齐次线性微分方程求解教学探讨

[摘           要]  从二阶常系数非齐次线性微分方程的求解案例出发，通过所处的不同角度，给出四种不同的解法，并对四种方法的优缺点进行分析，以此对高数二阶常系数非齐次线性微分方程的教学进行了粗略探讨。

[关    键   词]  常系数;非齐次;线性微分方程;通解

[中图分类号]  G642                   [文献标志码]  A                      [文章编号]  2096-0603（2020）32-0054-02

在我们的日常生活中，经常会用微分方程来研究实际问题，比如减肥问题、人口增长问题、考古学中古文物的年代确定和名画真伪的辨别问题、刑事案件中死亡时间的鉴定问题、经济学中预测商品的销售量、关于国民收入和储蓄与投资的关系问题等。总之，微分方程的应用已经渗透到社会生活中的方方面面，所以微分方程的教学在高等数学的教学中有着举足轻重的作用，但同时微分方程的求解也是教学難点。尤其是二阶常系数非齐次线性微分方程的求解更是教学中的难点。

对二阶常系数非齐次线性微分方程

其中p，q均为常数，一般教材都是直接给出它的通解结构：y=Y（x）+y*（x），其中y=y*（x）是二阶常系数非齐次线性微分方程（1）的一个特解，Y（x）是方程（1）对应的齐次方程y"+py'+qy=0的通解。在实际教学中，我们可以根据不同的题目，分析不同的解法，从而让学生透过各种解法更加深刻地理解求解微分方程的实质。

本文通过一类二阶常系数非齐次线性微分方程的求解案例，通过站在不同角度，采用四种不同的方法，并对四种方法的优缺点进行分析，来探讨高数二阶常系数非齐次线性微分方程的教学。

例 求y"-y′=2x的通解。

解：方法一：可以把所给方程看作可降阶的二阶微分方程y"=f（x，y′）型。设y′=p，则y"==p′，则原方程化为p′-p=2x，而此方程为一阶线性非齐次微分方程.根据公式得通解为

方法二：可以把该方程看成二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py′+qy=f（x）型，其中p，q均为常数，f（x）=2x为一次多项式ax+b型。此方程通解结构为y=Y（x）+y*（x）

第一步，先求对应齐次方程y"-y′=0的通解。其特征方程为 r2-r=0，有两个实根r1=1，r2=0，于是所给方程对应的齐次方程的通解

第二步，求原方程y"-y′=2x的一个特解y（x）。根据经验，多项式求导仍为多项式，且次数降低一次。由于等号右边是f（x）=2x为一次多项式ax+b型，为了保证等号两边相等，所以等号左边求导以后也是一次多项式，即y′也应是一次多项式，故可设特解为二次多项式，即可设y（x）=x（ax+b）。代入原方程得

2x，

即 -2ax+2a-b=2x，由待定系数法

-2a=22a-b=0，得a=-1，b=-2，故特解

对应的齐次方程y"-y′=0的特征方程为 r2-r=0，根为r1=1，r2=0，

由于这里λ=0是特征方程的单根，所以应设特解为

把它代入所给方程，得

即？摇？摇？摇？摇？摇-2ax+2a-b=2x，由待定系数法

于是，所求原方程通解为y=Y（x）+yx）=-x2-2x+C1ex+C2方法四：根据二阶常系数非齐次线性微分方程系数和对应的特征方程根的特点，利用降阶法，给出方程（1）的求通解公式，然后直接代入公式计算。下面先给出定理：

综上所述，四种方法各有优缺点。方法一把所求的方程看成可降阶的微分方程，把二阶降为一阶，降低了难度，但需要求两个一阶微分方程，步骤稍微繁琐，此题还涉及一阶线性微分方程求解，有些学生对此方程公式掌握不牢。方法二直接根据方程特点等号右边为多项式，根据经验，猜想方程特解形式，利用待定系数法求出参数，方法直接明了，好理解。方法三对等号右边f（x）=P（x）e型直接利用教材结论，设出特解，求解更便捷，但前提是要记忆公式，理解公式。方法四通过一个定理直接推出方程（1）的通解公式，方法简单明了，只要是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py′+qy=f（x）型，不需要判别等号右端f（x）类型，此方法更具有一般性，更容易推广，但是需要理解定理，记忆公式，而这个公式的理解和记忆又是大多数学生最头疼的地方。所以，在二阶微分方程教学中，对于二阶常系数非齐次线性微分方程y"+py′+qy=f（x），若f（x）=P（x）e型，采用方法二“猜想法”讲解，学生更易接受，更易理解掌握，而方法四更具有一般性。这就要求我们在实际教学中要因地制宜，要根据教学内容、学生特点，总结出一些适合学生的教学方法，提高教学效果。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学下册[M].北京：高等教育出版社，2003：286-291，311-313.

[2]朱长青，王红.微积分[M].北京：科学出版社，2018：158-160，163-166.

[3]宋燕.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式[J].高等数学研究，2011（3）：6-7.

◎编辑 马燕萍