浙教版八年级数学解一元二次方程攻略

吴凤

【摘要】笔者长期从事一线教学，在八年级数学教学实践中尝试总结出一套高效、便捷的解题方法，在本文中以八年级数学一元二次方程的解法应用为例，探索本套解题方法的实践应用，并希望各位同仁能不断完善梳理，以便在其他解题过程中实践应用，以为学生学科思维的引导提出新的路径。

【关键词】浙教版;八年级数学;一元二次方程;解题思路

一、一元二次方程的基本概念

一元二次方程式指未知数的最高次数是2，等号两边都是整数，并且只有一个未知数的方程。在常规的解题认知中，一元二次方程一般情况下都可以转化为ax2+ bx + c = 0（ a，b，c 为已知数，a≠0） 的基本形式，这种形式在教学中我们也称之为基本式。在这个基本式当中，ax2 为二次项， bx为一次项，c为常数项。在传统教学中，一元二次方程式是教学的难点，加之八年级学生刚刚接触一元二次方程，会造成理解难、没思路等问题的产生。

二、一元二次方程对八年级数学学习的重要意义

数学是非常重视基础的学科，初中数学的学习是以小学数学为前提的，而初中数学又是学生步入高中数学学习的基础。只有基础扎实了，才能为以后的数学学习打下坚实的基础，不然基础不牢，大厦越高倾覆的风险就越大。一元二次方程也是如此，其学习不仅是对学生小学阶段数学方程学习的检验，也是以后高阶方程应用的前提，另外也是九年级数学学习的扩展。在初中时期，一元二次方程的应用是较为常见的，尤其是方程与图形的结合、抛物线切线等知识的应用，如果不夯实一元二次方程的基础，以后的学习将会愈加的困难。所以，在八年级一元二次方程的教学必须帮助学生打下坚实的基础，使学生有清晰的思路、扎实的基础、解题的思路，这样才能为学生以后的发展提供有效的前提。

三、一元二次方程的解题思路归纳

首先，直接解法，也就是我们教学中常见的“直接开平方”。这种方法相对来说是最直观的，对学生来说也最容易掌握，但是，这种方法使用限制较多、范围较小。其使用范围主要有：第一，当一次项系数为0的时候，方程只存在2次项，就像2x2 =4此类的，那么就可以直接使用“直接開平方法”，最简单、最好理解、最适用;第二，方程的左边是一个完全平方式或者可以转为完全平方式，而方程右边为0的时候，就像（x-4）2=10此类的，也可以直接使用“直接开平方法”;第三，是通过“直接开平方法”简化方程，这类适用范围也有较为明显的特征，也就是方程两边都是（ax + m）2的形式，就像（x-4）2=（3x-2）2这样类型的方程。由此可见，“直接开平方法”非常直观，简单易懂，但有局限性较大是缺点，当然也要求计算者在计算过程中有高超精细的计算能力，不然非常容易失误。

其次，配方法，这种方法也是常用的一种方法，从表面意义就可以看出，就是整合一次项、二次项来“配”出一个常数项，“创”出一个平方式，再用“直接开平方”法，最终求出两个结果。如一元二次方程x2-6x+5=0，用配方法解决第一步就是要把常数项转到方程的右边，第二步就是要“配方”，先将一次项系数除以2，同时将其二次方，也就是将一次项的二分之一进行平方，得到的数字就是配方的数字。如上方程所述，一次项系数为-6，其二分之一再平方为9，所以要加上9，方程也转变为x2-6x+9=4，平方之后则转变为（x-3）2= 4，然后进行直接开方，最终就能得到5、1两个实根，然后代入方程进行检验，正确。经过上述总结，配方法一般是与直接开方法混合使用的一种解题方法，也是知识点交互使用的混合使用方法。

再次，因式分解法。因式分解法的目的就是将一元二次方程转变形式，转化成A·B = 0的基本方式，如果一元二次方程转化后，=左边的代数式能分解为两个A·B = 0的形式。因式分解法主要适用于没有常数项的情况，如4x2-4x=0，就可以适用因式分解法，根据相关步骤可得4x（x-1）=0，虽然方程形式发生了变化，其实质没有改变，最终可以得到两个根0、1，代入方程可以发现是正确的。如果转变为等式两边因式分解，也可以用，比如，2x（x-1）= 4（x-1），先转移可以转变为2x（x-1）-4（x-1）=0，经过分解可以得到两个根为1、2。经过上述分析可知，因式分解法=右边必须为0，一旦违反此规定，就无法使用因式分解法。

最后，十字相乘法。十字相乘法是一种数学思维方式的应用，总的说来就是将一元二次方程的二次项和常数项先进行分解，然后十字相乘，将方程转换为两个整式，然后将两个整式相加，假如两个整式相加与一次项相等，就说明分解成功。比如，2x2+x-21=0，这个方程就可以用十字相乘法来解，其过程就是可以先将二次项进行分解为2x·x，然后将-21分解为-3与7，并将两组数字十字相乘，2x与-3相乘、x与7相乘，这样便形成了-6x和7x，继而将这两项相加，于是就得到了x一个项，所以分解是成功的;如果两项相加结果不是x，那么就需要再次对二次项和常数项进行分解，多次分解尝试，直到得到最终结果，这样对于理解能力较差的学生来说，不仅费时间，而且容易出现错误，建议学生慎重使用此方法。

结语：综上所述，在解决一元二次方程相关问题中，学生是否熟练是重要前提。同时，笔者在总结中可以根据 b2-4ac > 0那么两个实数根定不相同;如果b2-4ac = 0那么两个实数根则相等;如果b2-4ac < 0，该方程就没有实数根。在上述四种解题方法中，因式法是最常用、最通用、使用范围最大的，但在解题中要将系数值一一对应，直接开平方法使用范围较小，配方法则对学科思维要求较高，十字相乘法难度较大，如果不熟练，建议慎重使用。