函数思想在高中数学解题中的巧妙应用

2020-04-01 04:12范选锋
数理化解题研究 2020年10期
关键词:树坑最值导数

范选锋

(甘肃省合水县第一中学 745400)

“函数”是高中数学中最基本、最重要的概念.随着新高考改革,函数的重要性只增不减,在集合、数列、方程等模块解题中均有体现.因此,在高中数学解题教学中,教师要重视对学生函数思想的培养,发散学生解题思维.

一、函数思想概述

函数思想依托函数概念而发展,了解函数思想之前,首先要对函数的相关概念和性质有所了解,包括周期函数、增(减)函数、奇(偶)函数、一次函数、二次函数、指数函数以及对数函数等.函数思想是一种最基本的数学思想,应用比较广泛,通过运用运动和变化的观点,对问题中的数量关系进行分析与研究,结合函数有关知识,解决问题,把握函数思想.函数思想在解题中应用一般遵循观点提出——抽象数量——建立函数关系.由此可见,熟练掌握函数思想不可忽视.在高中数学教学中,许多知识都体现了函数思想,像方程、不等式、算法、线性规划.方程上主要体现在求f(x)=0的根,实际上对应着求函数y=f(x) 的零点,即该函数图象与x轴交点的横坐标.不等式求解上主要解答一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0),相当于求函数y=ax2+bx+c图象在x轴上方时x的取值范围;线性规划问题求解中主要是在约束条件下求目标函数的最值问题.总之,函数思想在高中数学教学中无处不在,在解题教学中教师要重视学生函数思想的培养.

二、函数思想在高中数学解题中的应用

1.妙用导数解决一些实际应用问题

导数是数学学习重要内容,也是高考的重要考点之一,主要包括导数概念、几何意义、各类函数求导方法、常用导数运算公式等.近几年高考主要考查如何利用导数求解函数单调区间和最值.导数摆脱了对二次函数的依赖,成为考查函数性质及数学思想方法、能力等重要载体,在解题中具有很强的工具性和方法性作用,承担着命题创新的要求和任务.导数在解题中的应用一般分为三个层次,层次一:从导数几何意义和求导公式与法则入手;层次二:从导函数性质入手,像最值、极值、单调性等;层次三:以导数为工具,解决综合问题,包括不等式、实际应用问题等.

2.巧用函数中“三个二次”题型解题

《高中数学新课程标准》在代数知识结构方面淡化了代数运算与变形技巧,体现了以函数思想为主线的代数体系,更加注重函数思想方法的渗透.“三个二次”主要指二次函数、二次方程与二次不等式,这三者之间能够相互转化,有着紧密的联系,是解决函数零点分布、函数不等式等问题的重要工具.结合近几年高考考查倾向来看,重要集中在二次函数最值、图象问题、二次方程的根的分布问题、与不等式恒成立相关的二次函数的最值问题的考查,特别是解析几何的最值问题.所以,在高中数学解题教学中要重视此部分知识的渗透,培养学生函数思想.

例2 某班同学积极参加植树节活动,计划在一段直线公路一侧植树,一共20名同学,每人植一棵,各棵树间隔10m.树苗全都集中放在某一定点位置,为了使每位学生从各自树坑出发前来领取树苗所走路程和最小,树苗应该放在哪个树坑位置,这个最小和为多少?解答过程中,首先应该想到二次函数的转化,设放到第a个树坑,每个树坑到第a个树坑的距离和为S,此时可以列式为:S=(a-1)×10+(a-2)×10+…+(a-a)×10+[(a+1)-a]×10+…+(20-a)×10,化简为10(a2-21a+210),当a=10或11时,S的取值最小,具体为1000,往返路程为2000.在此类题型解答中,二次函数形式的构造起到了关键性作用,通过建立函数解析式,研究函数性质解决实际问题.

3.函数与方程思想方法解题突破

函数与方程是离不开的,两者不仅知识涉及广泛,知识点交汇多,而且在解题过程中有很具体的体现,像创新题型的变式转化、解答题的综合应用等,都是大型题目的解题法宝.在新课标改革下,高中数学教学也增加了函数与方程教学内容,可见其重要性.在问题解答中主要考查含参数方程讨论、构造方程求解、函数与方程之间的转化等,在教学中教师要特别注重此部分知识讲解.

例3直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为多少?此类题目在解答过程中可以直接将直线方程代入圆方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,结合题意位置关系相切,利用判别式Δ=0求出结果a.该解题过程体现了方程思想的运用,也可以转化为求函数与x轴交点的个数,体现了函数与方程思想.

综上所述,函数思想作为数学思想的重要组成部分,贯穿整个高中知识学习.在高中数学解题教学中,教师要重视函数思想的渗透,以此为解题工具,拓展学生思路,提高解题效率.使学生通过问题分析、解答掌握函数知识本质,了解数学学习魅力,培养数学学科核心素养.

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