高中部分函数知识的解题分析

杨 婷

(安徽省临泉第二中学 236400)

一、函数的求解定义域题型

函数的定义域和值域是高考大纲中有所要求的，这部分的题目综合性比较强，一般都是与其他类型的题目相结合.所以，同学们需要掌握最基本的求解函数定义域和值域的方法，这样才能在其他题目中灵活运用，辅助解答大题.

若A是函数y=f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.

试比较下列两个函数的定义域与值域：(1)f(x)=(x-1)(x-1)+1，x∈{-1,0, 1, 2, 3}；(2)f(x)= (x-1) (x-1)+1.第一小题的函数的定义域为{-1, 0, 1, 2, 3}，因为f(-1)=(-1-1)×(-1-1)=5，同理f(0)=2,f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，所以这个函数的值域为{1, 2, 5}.第二小题的函数的定义城为R，因为(x-1) (x-1)+1≥1，所以这个函数的值域为{y|y≥1}.

评注这类函数问题都相对比较简单也是函数问题最基础的知识，主要就是考查学生对于题目的解析能力，同时也是为了让学生在做题的时候能够养成仔细审题的习惯，只要认真看题，按照正常的解题步骤进行解答，基本上都能解出正确答案，主要还是要细心和谨慎.

二、函数的实物构图分析题

函数的实物构图分析题是有一定难度的题目，更多的考查学生对于函数关系的理解程度，让学生从纯文字的表述中进行相关信息的分析，这类题目还是需要多做相关题型，积累做题经验，练出一定的手感，这样在遇到类似问题时可以有一个比较准确的思维框架帮助理解题目.

一座钢索结构桥的立柱PC与QD的高度都是60m，A,C间距离为200m，B,D间距离为250m，C,D间距离为2000m，E,F间距离为10m，P点与A点间、Q点与B点间分别用直线式桥索相连结，立柱PC,QD间可以近似看作是抛物线式钢索PEQ相连结.现有一只江鸥从A点沿着钢索AP,PEQ,QB走向B点,试写出从A点走到B点江鸥距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系.

我们可以作一个坐标图，以A点为原点，桥面AB为x轴，过A点且垂直于AB的直线为y轴.建立直角坐标系，则A(0,0)，C(200,0)，P(200,60)，E(1200,10)，D(2200,0)，Q(2200,60)，B(2450,0).

设直线段PA满足关系式y=kx,那么由60=k×200，得k=0.3,即有y=0.3x，0≤x≤200.设直线段QB满足关系式y=lx+b，那么由0=2450l+b和60-2200l+b得l=-0.24，b=588，即有y=-0.24x+588，2200≤x≤2450.

评注这类关于函数的题目都有一些难度，更多的是考查学生们对于题目的理解能力，以及如何从文字中获取数据间的相关函数关系.这就要求同学们作出坐标图，借助坐标图理解数字间的关系，得到准确的函数关系，从而构建函数组进行运算.

三、函数的综合应用题

函数的综合应用题难度比较大，一般是综合性很强的题型，一般下设几个小题，难度层层递进，并且题目要求的函数工具也比较多，可能包含了幂函数，指数函数，以及函数单调性等等的多方面知识，对考生掌握函数的熟练度要求很高.

在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元)，利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值?

我们来看看求解过程：由题意知，x∈[1,100]，且x∈N*.(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000，MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x.(2)P(x)=-20(x-125/2)2+74125.P(x)的最大值为74120(元).因为MP(x)=2480-40x是减函数,所以当x=1时,MP(x)的最大值为2440(元).因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值.除此之外，我们可以得出边际利润函数MP(x)在当x=1时取最大值,说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大，即第二台报警系统利润最大.MP(x)=2480-40x是减函数，说明随着产量的增加每台利润与前一台利润相比在减少.

评注函数综合应用题相对难度大一些，考察的范围也较大，但是，其实题目所运用到的公式还是比较基础的.这也要求学生能够熟练掌握各种函数的基本运算方式以及它们对应的运算特点，以便在运用到大题的时候能够准确且灵活地使用.