一道折叠中轨迹问题的两种解法

史云峰

(甘肃省武山县第一高级中学 741300)

案例1如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻转成△PDE.若M为线段PC的中点，则在△ADE翻转过程中：M点的轨迹是什么？

解法一(立体几何法)连接CE，取CE中点为G，连接MG，BG，则MG∥PE，BG∥DE，∴平面MBG∥平面DEP，∴MB∥平面DPE.

说明：(1)翻折中动点A在一个面上移动，M点也在一个面上移动.

(2)如果没有旋转意识，则不易看出定值及完成计算.

分析可将此立体几何问题选用解析法来处理，以折痕DE所在线为x轴，DE的中垂面为y轴z轴建系，在此折叠过程中，P点始终在x轴的垂面内转动，并画出了半圆，那么PC的中点M也是在x轴的垂面内转动，画出了半圆弧，从而可设M(x,y,z),求出其参数方程，得出M的轨迹.

总之几何问题代数化，折叠问题解析化，能有效建立章节间的横向联系，使知识有效整合，增强了对数学整体认识，使学生对所学知识有较好的应用，对问题有较强的分析能力，从而提高了数学空间想象能力和运算能力，加强了对数学核心素养的培养.