一道不等式证明题的解法赏析

李宁英

(新疆克拉玛依市第一中学 834000)

方法1恰当设元后利用平均值不等式进行证明.

设2x+y+z=a,x+2y+z=b,x+y+2z=c，则a,b,c均为正实数,

当且仅当a=b=c，即x=y=z时等号成立.

评析方法1利用平均值不等式证明的关键是分拆和转化，直接不好分拆时考虑重新设元，将分母设元后，将分母变简单，拆项后利用均值不等式，注意均值不等式等号成立的条件.

方法2恰当设元后将要证的不等式等价转化.

转化为只要证

原不等式得证.

评析方法2通过观察原式的结构，进行设元，将原不等式进行等价转化，将要证的不等式变得简洁，然后再利用柯西不等式进行证明.

方法3利用调和平均数与算术平均数的关系证明.

当且仅当a>0,b>0,a=b时等号成立.

当且仅当x=y=z时等号成立.

方法4构造两组数，利用排序不等证明.

不防设x≥y≥z>0，

则2x+y+z≥x+2y+z≥x+y+2z,

两组数及排序不等式“逆序和”小于等于“乱序和”可得：

由2(1)+(2)+(3)得

当且仅当x=y=z时等号成立.

评析应用排序不等式，构造出恰当的两个便于排序的数组是关键，一般都采用“不防设”的技巧进行排序，借助这种大小顺序进行适度的“放缩”，再利用不等式的性质从而得证.

方法5巧妙拆分后利用柯西不等证明

+(x+2y+z)+(x+y+2z)]

当且仅当x=y=z时等号成立.

评析根据不等式的结构特征，观察左边每一项分子、分母关系，进行拆分，约掉分子、分母的共同因式，然后再利用柯西不等式进行证明.

通过不等式证明的五种方法，希望对不等式证明中所蕴含的数学思想方法加以梳理，从而找到解决不等式证明的一般方法，大家在今后处理类似问题时加以运用和体会.