基于Dandelin双球的离心率求解问题

郭 婧 李 强

(1.山东省青岛西海岸新区第一高级中学 266510；2.山东省青岛大学 266000)

求离心率或离心率范围是日常教学的重点和难点，这也是高考中的必考题型.我们一定见过这道题目：

如图1，在桌面上有一点A1，它正上方有一个光源A,将半径为2的球放置在桌面上，使得AA1与球相切，AA1=6，光线照在球上，会在桌面上产生投影，请问投影是什么形状？离心率是多少？

事实上，这道题的解答可以回归到椭圆的来源——平面与圆锥曲线的截线上去.

追根溯源：人教A版选修2-1在第二章章头图中，如图2，形象地展示了从不同的角度截圆锥面可以得到椭圆、双曲线、抛物线三种不同的曲线，因此这三种曲线被称为圆锥曲线.但这种联系在后面给出圆锥曲线的两种定义中，均未体现，直到42页的“探究与发现”，教材提出Dandelin双球,利用切线长相等，证明了圆锥被一个平面截得的截口曲线是椭圆的结论.本文将主要研究这个椭圆的离心率如何求解，下面图3展示的就是Dandelin双球.

一、Dandelin双球重现

如图3，设平面π′与小球相切于点F1，与大球相切于点F2，两球与圆锥的交线分别为S1和S2，平面π和δ分别过S1和S2，π′和π交于直线m，π′和δ交线为m,连接点P和圆锥顶点O，与S1和S2分别交于Q1和Q2.P是平面π′与圆锥的截线上任取的一点，连接PF1，PF2.利用切线长相等，可以得到PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2=定值，从而截口曲线是椭圆.

在Rt△APB中，PB=PAcosβ.

在Rt△PBQ1中,PB=PQ1cosα.

结论1：在空间中，已知圆锥O是由l′围绕l旋转得到的,我们把l称为轴.用平面π截圆锥，得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴l所成的线面角β(显然，当π与l平行时，β=0)，具体关系如下：

如图5，AD、BC为圆柱母线，EF为圆柱斜截面椭圆的长轴，设EF与母线所成锐角为β，过E作EG∥CD，则EG为圆柱的底面直径，亦即椭圆的短轴长.从而得到平面截圆柱所得椭圆的离心率e=cosβ,β即为截面和圆柱的轴的交角.

综合结论1和结论2，平面截圆锥所得椭圆的扁平程度不同，从而离心率不同.当圆锥轴截面顶角一定时，离心率由圆锥母线与截面所成角来确定；平面截圆柱所得椭圆离心率的大小，由圆柱母线与截面所成角唯一确定.这两个结论的获得亦可通过建系，借助于向量的数量积得证，同时可以进一步得到圆锥曲线的方程.

二、结论的应用

俗话说“万变不离其宗”，尽管高考题目一直在推陈出新，千变万化，不可预测，但它的根只有一个——教材.我们只有紧紧抓住这个根，才能在高考中出奇制胜，处变不惊.实际上，在教材中每一章章尾都设置了“探究与发现”、“信息技术与应用”、“阅读与思考”等栏目，目的就是希望增长学生见识，拓宽学生视野，了解知识的产生背景和本源，知其然并知其所以然，同时也增强了学生学习数学的兴趣，了解数学来源于生活并服务于生活，树立“数学是有用的”意识.从高考的角度，高考命题也来源于此.这就要求教师在任何时候都不能脱离课本，必须回归教材，以本为本，对课本资源进行深度挖掘、钻研，多琢磨、多整合，善于一题多解和多题一解.