一类亚循环2-群自同构群的阶及机器实现

杨艳

(湖北文理学院数学与统计学院，湖北 襄阳 441053)

0 引言

关于亚循环群的研究，在分类和性质方面，从奇阶亚循环p-群到亚循环2-群，再到一般的亚循环群以及无限亚循环群，前人都做了很多研究.亚循环p-群的完全分类是Bruce W.King[1]给出的，接着Hyo-Seob Sim[2]做出了推进性工作，给出了奇阶亚循环群的标准表达式及其性质，这里的标准表达式指的是亚循环群中满足特定条件的生成元给出的生成表达式，2000年，C.E.Hempel[3]对亚循环群的分类做出了全面的总结.

关于亚循环群的自同构群，学者们通过对群的标准表达式、群的内在结构以及群的阶的研究，给出了一些好的结果.分裂的亚循环群方面，分裂奇阶亚循环p-群的自同构群、分裂亚循环2-群的自同构群、分裂亚循环群的自同构群均已给出[4-7].在非分裂的亚循环群方面，目前只得到了奇阶p-群的自同构群、一些有特殊性质的亚循环群的自同构群及无限亚循环群的自同构群等[8-10]，而偶阶的亚循环群虽然有一些结构上的研究，但其自同构群仍然未能构造出来.

作者在研究亚循环群的分裂性时[11]，发现很多情况下，分裂亚循环群是以非分裂的形式给出来的，即其亚循环表示可能是非分裂形式的，从而限制了求解其自同构群.此外，在文献[11]中，我们通过机械计算的方法，根据亚循环群及其子群的阶给出了一个亚循环群分裂的条件.因此本研究沿用以上方法求解亚循环2-群的自同构群，从亚循环2-群的亚循环表示出发(非标准表示)，通过生成元的构造关系，机械地对其自同构群的阶进行计算.其特点有二，一是对所给亚循环表示不做限定，即不需要标准的表示，从而使结果有更广泛的适用性；二是机械式的构造方法能用计算机编程实现，降低了应用方面的门槛，也为后续计算其自同构群的结构提供了思路和机械验证的可能性.

1 研究对象与方法

1.1 研究对象

定义1.1若G是一个群，且存在一个正规的循环子群K使得G/K是一个循环群，则称群G是一个亚循环群.

定理1.2有限亚循环2-群有如下两种表示[1]：

1)G=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b1+2k〉，其中l≥h,m-h≤k,k>1；

2)G=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b-1+2k〉，其中k+l≥m,k>1，m-1≤h≤m,m>2.

论文的主要研究对象是定理1.2中的第一类亚循环2-群.对于所给的亚循环2-群的生成表示(不一定是标准表示)，计算亚循环p-群的自同构群的阶时，根据所给表示的不同分为四类进行，计算方法是基本的.我们将给出|Aut(G)|,|Aut(G:K)|,|Aut(G:S)|及|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|.

1.2 研究方法论文中的研究方法为两种，即理论研究和机器研究.

理论研究主要依据两个关系(aibj)2h=(arbs)2l，(aibj)1+2k=(aibj)arbs,得出i,r,s,j的取值范围及其之间的关系.从而得到有限亚循环2-群的自同构群的阶的计算公式.

机器研究是根据理论研究的相关数据，将计算过程程序化，其主要研究工具是C语言.

2 主要结论

2.1 亚循环2-群的自同构群的阶

引理2.1设G≅G1=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b1+2k〉，其中l≥h,m-h≤k,m>k>1，φ是G上的映射，其中φ(atbn)=(arbs)t(aibj)n,∀atbn∈G,r,s,i,j∈Z，则φ为G的自同态当且仅当以下条件成立，

1)2max(l-k,l-h)|i;

2)2max(h-k,0)|j(r-1)；

引理2.1的证明(必要性)φ为G的自同态，则由G′=〈b2k〉可知φ(b2k)=(aibj)2k∈〈b2k〉，即(aibj)2k=ai2kbj(1+2k)i+…+(1+2k)i2k∈〈b2k〉，于是2max(l,l-h+k)|i2k，条件1)成立.

由φ(ba)=φ(b1+2k)=(aibj)1+2k=φ(b)φ(a)=(aibj)arbs可知，

于是

则条件2)和3)成立.

(充分性)若φ满足3个条件，则φ(b)φ(a)=φ(b)1+2k，即φ(b)φ(a)=φ(a)φ(b)1+2k，于是φ是同态.

引理2.2设G≅G1=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b1+2k〉，其中l≥h,m-h≤k,m>k>1，φ是G上的同态，其中φ(atbn)=(arbs)t(aibj)n，∀atbn∈G,r,s,i,j∈Z，则φ为G的自同构当且仅当以下条件成立，

1)(i12max(h-k,0)+j,2)=1，(r-1,s)=2，(j-1,s)=2;

2)2m-h|r+s2l-h(1+r2k-1)-(i12max(h-k,0)+j)-i12max(l-1,l-h+k-1).

引理2.2的证明(必要性)φ为G的自同构，则有|φ(b)|=2m和|φ(a)|=2m-h+l=expG，同时由

(aibj)2m-1=ai2m-1bj(2m-1+i2m+k-2)=a2m-1(i+j2l-h)=a2m+l-h-1(i12max(0,h-k)+j)≠1.

则可得条件1).

同时由φ为G的自同构亦可知

即

r2h+s(2l+r2k+l-1)-i12max(2h-k,h)-j(2h+i2k+h-1)≡

2h(r+s2l-h(1+r2k-1)-i12max(h-k,0)-j(1+i12max(l-1,l-h+k-1))(mod2m)≡2h(r+s2l-h(1+r2k-1)-(i12max(h-k,0)+j)-i12max(l-1,l-h+k-1)(mod2m)≡0(mod2m)

得到条件2).

(充分性)由条件1)可得

(aibj)2m-1=ai2m-1bj(2m-1+i2m+k-2)=a2m-1(i+j2l-h)=a2m+l-h-1(i12max(0,h-k)+j)≠1.

即|φ(b)|=2m.

由φ(a2l)=φ(b2h)知(arbs)2l=(aibj)2h，即若存在t∈Z且t≤m，使得(arbs)2l-1=(aibj)2t，则ar2l-1-i2t∈〈b〉，同时t≤h且2m|2t+1-2h，于是h-1≤t≤h，且只有当h=m时，才有t=h.

我们将分情况进行讨论.若(j,2)=1，则由引理2.1的条件2)知2max(h-k,0)|r-1，设r=r12h-k+1，可得

r2l-1-i2t≡r12max(h-k,0)+l-1+2l-1-i12max(l-k,l-h)+t(mod2l)≡r12max(l+h-k-1,l-1)+2l-1-i12max(l+h-k-1+t-h+1,l-1+t-h+1)(mod2l)≡2max(l+h-k-1,l-1)(r1-i12t-h+1)+2l-1(mod2l)≡2l-1(2max(h-k,0)(r1-i12t-h+1)+1)(mod2l),

则当t=h-1时，由条件2)知(2max(h-k,0)(r1-i1)+1,2)=1.当t=h=m>k时，亦有(2max(h-k,0)(r1-i1)+1,2)=1，于是(arbs)2l-1∉〈aibj〉，即|φ(G)|=l+m,φ为自同构.

若(j,2)=2，则由条件1)可知(i,2)=1及(s,2)=1，且此时定有l=h.若(i,2)=1，由引理2.1的条件1)可知l=h=k

r2l-1-i2t≡i2t(mod2l)≡i2l-1(mod2l),

即(arbs)2l-1∉〈aibj〉，即|φ(G)|=l+m,φ为自同构.

定理2.3设G≅G1=〈a,b|a2l=b2h,b2m=1,ba=b1+2k〉，其中l≥h,m-h≤k,m>k>1，则

1)在l>h>k时，

① 若h

|Aut(G)|=2l+2k+h,|Aut(G:K)|=2l+k+h,

|Aut(G:S)|=2l+2k,|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k.

② 若h=m，可得：|Aut(G)|=2l+2k+m-1,|Aut(G:K)|=2l+k+m-1,

|Aut(G:S)|=2l+2k-1，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k-1.

2)在l=h>k时，

① 若h

|Aut(G)|=2l+2k+h-1,|Aut(G:K)|=2l+k+h-1,

|Aut(G:S)|=2l+2k，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k.

② 若h=m，可得：

|Aut(G)|=2l+2k+m-1,|Aut(G:K)|=2l+k+m-1,

|Aut(G:S)|=2l+2k-1，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k-1.

3)在l>h，h≤k时，

① 若k

|Aut(G)|=2l+2h+k-1,|Aut(G:K)|=2l+k+h,

|Aut(G:S)|=2l+k+h-1，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k.

② 若k=m>h(即：G是交换群)，可得：

|Aut(G)|=2l+2h+m-2,|Aut(G:K)|=2l+m+h-1,

|Aut(G:S)|=2l+m+h-2，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+m-1.

③ 若h=k=m，可得：

|Aut(G)|=2l+3m-2,|Aut(G:K)|=2l+2m-2,

|Aut(G:S)|=2l+2m-2，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+m-2.

4)在l=h≤k时，

① 若k

|Aut(G)|=23l+k-1,|Aut(G:K)|=22l+k-1,

|Aut(G:S)|=22l+k-1，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k;

② 若k=m>h，可得：

|Aut(G)|=23h+m-2,|Aut(G:K)|=22h+m-2,

|Aut(G:S)|=22h+m-2，|Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2h+m-1.

定理2.3的证明1)由引理2.2可设i=2l-ki1及r=r12h-k+1，并根据相关条件得到.

0≤i1<2k，i=2l-ki1，0

r1=i1(mod2m-h)；0≤s<2h，0

s·2l-h=j-1(mod2m-h).

得证.

2)若l=h>k且l+k>m，与1)类似，我们有

0≤i1<2k，i=2l-ki1；0

r1=i1(mod2m-h)；0≤s<2h，0

(r1-i1)2h-k+s=j-1(mod2m-h).

而对l=h=m-k>k，我们可得到下述关系，

0≤i1<2k，i=2l-ki1；0

r1-i1=2k-1(mod2k)；0≤s<2h，0

j-1-s=0(mod2k).

得证.

3)若l>h且h≠k，则由〈α(b)2k〉=〈b2k〉知2l-h|i，于是可令i=2l-hi1，同样地考虑以上关系可得，

0≤i1<2k，i=2l-hi1；0

(i1+j,2)=1；0≤s<2h，0

j-1=s2l-h(mod2m-k).

得证.

4)若l=h≤k，与3)类似有

0≤i1<2k，0

r=i+j-s(mod2m-h)；(i+j,2)=1；

j-1=s(mod2m-k).

接着，我们考虑情况l+k=h+k=m.首先由

(aibj)2k=ai2kbj(1+(1+2k)i+…+(1+2k)i(2k-1))=b(i+j)2k+j(1+2k-1)

知(i+j,2)=1和2|ij.依然考虑以上两种关系，我们有

0≤i1<2k，0

(i+j,2)=1；(r+s,2)=1；

s+1=j(mod2m-k)；i+j=r+s(mod2m-h).

得证.

2.2 机器计算我们将以上定理的证明过程，以程序的方式给出来.对任意给定的第一类亚循环2-群的表示，即给定以上定理中的l,h，m，k，程序首先会判断所给表示是否是好的，即是否满足定理2.3所给的条件，然后会根据l,h，m，k的各种情况，给出相应的自同构群的阶.程序的流程图如图1、2所示.

图1 主函数流程图

图2 run函数流程图

3 讨论

首先，我们对上节两种计算自同构群的阶的方法进行比对，即对定理2.3的结果和通过C语言的计算结果，通过具体实例进行比对.需要注意的是定理2.3的讨论中分的情况较多，我们将进行分别举例.

由定理2.3，我们有如下例子.

1)在l>h>k时.

① 若h

例3.1若l=4,h=3,m=5，k=2;则G=〈a,b|a24=b22,b25=1,ba=b1+22〉.我们有：

|Aut(G)|=2l+2k+h=211=2 048, |Aut(G:K)|=2l+k+h=29=512,

|Aut(G:S)|=2l+2k=28=256, |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k=26=64.

② 若h=m.

例3.2当l=4,h=3,m=3，k=2;则G=〈a,b|a24=b22,b23=1,ba=b1+22〉.我们有：

|Aut(G)|=2l+2k+m-1=210=1 024, |Aut(G:K)|=2l+k+m-1=28=256,

|Aut(G:S)|=2l+2k-1=27=128， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k-1=25=32.

2)在l=h>k时.

① 若h

例3.3当l=3,h=3,m=5，k=2;则G=〈a,b|a23=b23,b25=1,ba=b1+22〉.我们有：

|Aut(G)|=2l+2k+h-1=29=512, |Aut(G:K)|=2l+k+h-1=27=128,

|Aut(G:S)|=2l+2k=27=128， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k=25=32.

② 若h=m.

例3.4当l=3,h=3,m=3，k=2;则G=〈a,b|a23=b23,b23=1,ba=b1+22〉.我们有：

|Aut(G)|=2l+2k+m-1=29=512, |Aut(G:K)|=2l+k+m-1=27=128,

|Aut(G:S)|=2l+2k-1=26=64， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k-1=24=16.

3)在l>h,h≤k时.

① 若k

例3.5当l=2,h=1,m=3，k=2,;则G=〈a,b|a22=b21,b23=1,ba=b1+22〉.我们有：

|Aut(G)|=2l+2h+k-1=25=32, |Aut(G:K)|=2l+k+h=25=32,

|Aut(G:S)|=2l+k+h-1=24=16， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k=24=16.

② 若k=m>h(即G是交换群).

例3.6当l=2,h=1,m=2,k=2;则G=〈a,b|a22=b21,b22=1,ba=b1+22〉.我们有：

|Aut(G)|=2l+2h+m-2=24=16, |Aut(G:K)|=2l+m+h-1=24=16,

|Aut(G:S)|=2l+m+h-2=23=8， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+m-1=23=8.

③ 若h=k=m.

例3.7当l=3,h=2,m=2,k=2;则G=〈a,b|a23=b22,b22=1,ba=b1+22〉.我们有：

|Aut(G)|=2l+3m-2=27=128, |Aut(G:K)|=2l+2m-2=25=32,

|Aut(G:S)|=2l+2m-2=25=32， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+m-2=23=8.

4)在l=h≤k时.

① 若k

例3.8当l=2,h=2,m=3，k=2;则G=〈a,b|a22=b22,b23=1,ba=b1+22〉.我们有：

|Aut(G)|=23l+k-1=27=128, |Aut(G:K)|=22l+k-1=25=32,

|Aut(G:S)|=22l+k-1=25=32， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2l+k=24=16.

② 若k=m>h.

例3.9当l=1,h=1,m=2,k=2;则G=〈a,b|a21=b21,b22=1,ba=b1+22〉.我们有：

|Aut(G)|=23h+m-1=24=16, |Aut(G:K)|=22h+m-1=23=8,

|Aut(G:S)|=22h+m-1=23=8， |Aut(G:S)∩Aut(G:K)|=2h+m-1=22=4.

计算机运行结果如图3所示.

图3 例3.1～例3.9程序运行结果

对例题所算结果与程序运行数据进行比对，我们发现结果是完全一致的.但程序运行结果更直观，可使其他非群论工作者更清楚明了读懂数据并应用于实践中.由此可知本研究意义，一是将理论研究简化为实践研究.群论乃至整个抽象代数学科的研究以理论研究和整体研究为主，学者们通常是以抽象和宏观的角度来分析相应的代数对象.譬如，对于亚循环群，学者们看待的角度是循环群被循环群的扩张，并把研究的重点放在扩张的方式上，期望依靠分析扩张的方式来得到其自同构群.而群论被广泛应用于无机化学、量子力学、密码学等领域，非群论专业研究者，在用到一些相关结论时，会面临大量的定理和定义，并深受其困扰.我们研究的意义在于把这些抽象的概念简单化，使群论真正成为一个工具.而亚循环群作为最基本的群扩张，应是我们进行这项研究的首要研究对象.在我们的研究中，亚循环群被简单定义为两个满足一定关系的生成元生成的群，这一思想在其自同构群的研究中得到了充分的体现，并使机械验证成为可能.

二是在于以亚循环群的一般表示为研究对象，颠覆了以往的以标准表示为基础的亚循环群及其自同构群的研究，其研究结果具备更广泛的应用性.而亚循环2-群的自同构群是亚循环群的自同构群的研究的难点，相关研究主要集中在分裂的情况[4-5]，涉及非分裂的情况很少.本项目将分裂的和非分裂的亚循环2-群进行统一研究，特别地给出了非分裂亚循环2-群的自同构群的阶，并给出一套完备的求其自同构群阶的方案，为后续的研究提供了思路和研究方向.

代数学的发展得益于计算机的兴起，但大量数学软件的开发和运用提高了进行相关学习的门槛.本研究以C语言编写为主，具备受众更广、可编译性更强、推广便捷的特点.