基于压阻反馈信号纳米梁非线性振动控制

孔维旭， 刘灿昌， 万 磊， 党 壮， 贺成泰

(山东理工大学交通与车辆工程学院， 淄博 255049)

随着纳米技术的发展，微型化、高灵敏度、稳定性好的纳机电系统(nano-electromechanical system，NEMS)器件研究成为近年来科研工作者的热点。纳米梁是纳米谐振器、振荡器、传感器等纳机电系统器件的关键承载原件[1-3]。当梁处于纳米尺寸时，其振动行为容易从线性区跨越进非线性区，表现出多种非线性特性[5-8]。常用的纳米梁直流、交流电压静电驱动方式也会产生非线性效应[4]，导致纳米梁的振动产生失稳，严重制约NEMS器件的工作稳定性。因此，NEMS器件的非线性振动控制研究成为学者们的研究内容之一，具有重要的工程意义。

NEMS器件非线性振动控制方法的研究成为中外学者的研究热点问题之一。Dumitru等[9]研究了静电驱动悬臂梁微谐振器的非线性响应，建立了包含静电力和卡西米尔力的非线性动力学方程，并利用多尺度方法对方程进行了分析。Rhoads等[10]通过提出一种新型的纳米梁结构装置，将谐振器的纯参数激励的优点与梁的简单几何结构相结合，提出了交流激励电压控制的具有理想响应特性的复杂动力学方程。Shaat等[11]针对纳米材料的静电驱动梁，提出了一种精确的非线性模型，选用Euler-Bernoulli梁作为模拟静电驱动的纳米梁模型，并研究了梁结构和尺寸大小对静电驱动纳米梁固有频率、非线性动力学的影响。Najar等[12]在考虑了小尺度效应下，研究了在非线性力和直流电压作用下纳米梁的动态响应，纳米制动器建模选Euler-Bernoulli悬臂梁，利用Hamilton原理推导出弹性模型中的控制方程和边界条件。Bornassi等[13]利用Euler-Bernoulli梁建立了纳米器件在静电力和分子间力作用下的运动方程，利用微分求积法求解非线性动力学方程。Younis等[14]应用直接多尺度法研究了一类单极板驱动两端固支微梁振器的主共振特性，探讨了轴向力及中性面变形对于非线性共振频率的影响，研究了不同参数对于系统幅频响应的影响Abdel Rahman等[15]用同样的方法研究了单极板驱动两端固支梁谐振器的超谐和亚谐振动问题，分了系统的动态分岔特性，指出在某些参数情况下系统可能包含多稳态解情况。

压阻效应是指当材料受到应力时,其载流子的平均有效质量增加或减小(取决于应力方向、晶体取向和电流方向)，从而电阻率发生改变的现象。压阻效应一般比电阻应变效应大两个数量级,被广泛应用于各种压阻传感器[16-18]。基于压阻效应，可以制作各种应力应变传感器。常用的压阻效应半导体材料有硅和锗的掺杂半导体，其中P型硅的压阻效应比较明显。压阻效应已经被广泛地应用在各种传感器的研究工作中，如压阻传感器，压阻压力传感器，压阻式加速度传感器。对于硅纳米结构的压阻的分析和研究是近年来NEMS研究人员的重要课题，相比N型硅而言，P型单晶硅表现出更大的压阻效应。纳米结构的压阻效应的研究对于基于压阻效应工作的传感器有着十分重要的意义[19]。硅压阻式压力传感器采用先进微型化制作工艺集成硅压阻膜片作为敏感元件, 利用多晶硅的压阻效应, 在压阻膜片上淀积的绝缘层二氧化硅上淀积制备三个多晶硅压敏电阻, 与压阻膜片组成惠斯通电桥[20-21]。

本文选用Euler-Bernoulli梁作为物理模型，基于压阻效应对静电激励下的纳米梁非线性振动控制进行分析研究，考虑多种因素对纳米梁非线性振动的影响。旨在以硅压阻作为系统振动信号提取与检测的新型理论方法，利用线性、非线性振动分析方法，对非线性振动系统进行控制，为非线性振动控制提供一种新思路。

1 压阻效应纳米梁非线性振动模型

压阻效应是指当材料受到外加机械应力时，材料的体电阻率发生变化的材料性能。晶体结构的形变破坏了能带结构，从而改变了电子迁移率和载流子密度，使材料电阻率或电导发生变化。由半导体电阻理论可知：

ΔR=pσR

(1)

式(1)中:p为纵向压阻系数；σ为电阻的纵向应力。将胡克定律σ=Eε代入式(1)可以得到：

ΔR=pERhw″

(2)

利用压阻效应提取振动信号的纳米梁振动控制系统如图1所示。悬臂梁上表面靠近固定端部位粘贴硅压阻膜片，硅压阻膜片与外接的三个电阻组成惠斯通电桥电路。纳米悬臂梁在交变静电激励力作用下产生受迫振动，纳米梁根部的硅压阻膜片阻值发生变化。利用惠斯通电桥电路可以将该信号输出，经信号放大器放大后，作为控制信号进行振动控制。由于硅压阻膜片长度较短，忽略硅压阻膜片随着纳米梁变形时曲率的变化。

图1 纳米梁控制系统示意Fig.1 Nanobeam control system schematic

取R=R1，可以得到惠斯通电桥两端输出电压为

v=0.125pEhUw″

(3)

式(3)中:U为惠斯通电桥供电电压，h为纳米梁高度。

由物理模型可知，系统微分方程可表示为

(4)

纳米梁谐振器非线性振动偏微分运动方程和边界条件为

(5)

式(5)中：E、A、I和ρ分别为纳米梁的杨氏模量、横截面积、截面惯性矩和材料密度；b*是单位长度黏滞阻尼系数；l为纳米梁的长度；W是纳米梁的宽度；g是纳米梁和驱动电极间的距离；K为反馈增益参数；V1和V0为作用于纳米梁的直流和交流激励电压；Ω*为交流激励圆频率；gf为系统反馈增益参数；Γ=(0.125pEh)2。

由于直流电压V1远大于交流激励电压V0, 忽略高阶项, 得到：

(6)

对运动方程和边界条件进行无量纲化处理，得到无量纲运动方程和边界条件为

(7)

u(0,t)=u′(0,t)=u(1,t)=u′(1,t)=0

(8)

两边同时乘以(1+u)2(1-u)2, 得到:

cos(Ωt)]-k(1-u)2U2u″2

(9)

整理得:

εk(1-u)2U2u″2+C

(10)

式(10)中:C为高阶项，可忽略。

2 多尺度方法分析

式(9)为非线性方程, 采用多尺度方法, 设解的形式为

u(z,t,ε)=u0(z,T0,T1)+εu1(z,T0,T1)+…

(11)

比较同次幂的系数, 得到:

(12)

(13)

边界条件为

(14)

式中：Dn=∂/∂Tn,n=0,1,2,…，式(12)的近似解为

(15)

3 主共振

在外加电压载荷激励下，会出现各种共振现象。现研究激励频率接近系统固有频率一半时纳米梁的共振和稳定性。激励频率可以写成：

2Ω=wk+εσ

(16)

式(16)中:σ为调谐参数。

(17)

分离式(17)的虚部和实部，得到：

(18)

(19)

由式(18)、式(19)，可以得到振动系统幅频响应方程为

(20)

4 主共振数值分析

纳米梁振动系统存在多值、分岔和混沌等一系列复杂的非线性特性，这些非线性特性对稳定的纳米梁振动系统有特别明显的影响。结合理论推导和数值模拟两种方法，分析硅纳米梁压阻效应非线性振动特性。通过幅频响应方程和相频响应方程得到纳米梁非线性振动控制因素，其中包括纳米梁参数、阻尼、激励电压和反馈增益参数等。旨在分析硅压阻反馈信号的纳米梁非线性振动及振幅的规律，并且以纳米梁一阶振动模态为例分析控制参数和系统参数对硅压阻效应纳米梁振动的影响。

表1给出了纳米梁物理参数，仿真得到系统非线性振动分析与控制的幅频响应曲线。图2给出了交流激励电压不同时的幅频特性响应曲线。当交流激励电压幅值等于0.2、0.25 V时，共振频率点在左区间，在最大振幅点发生跳跃现象，振动响应不稳定。当交流激励电压幅值减小至0.1 V时，振动趋于稳定，振动响应曲线向左偏离σ=0轴趋势减缓。从图2可以知道，随着交流激励电压幅值增大，最大振幅逐渐增大，幅频特性响应曲线逐渐向左弯离σ=0轴, 纳米梁非线性振动呈现软弹簧特性。

表1 纳米梁物理参数Table 1 Physical parameters of nanobeam

图2 交流激励电压幅值不同时的幅频响应曲线Fig.2 Amplitude-frequency response curves fordiffevent amplitudes of AC excitation voltage

无量纲阻尼不同时的幅频特性响应曲线如图3所示。由图3得，在远离共振区间处，改变无量纲阻尼值对振幅影响较小，增大阻尼可以使最大振幅减小。随着无量纲阻尼的增大，振动响应逐渐趋于稳定，多值区间逐渐减小至消失，最大振幅点与共振频率点的偏移量逐渐减小，这与实际情况相符。

图4描述了反馈增益参数K不同时的系统幅频特性响应曲线。由图4可得，反馈增益参数对最大振幅影响较小，当频率远离共振区域时，反馈增益参数对振幅影响较小。在反馈增益参数逐渐增大的过程中，纳米梁非线性振动行为逐渐向软弹簧特性过渡。当反馈增益参数等于8时，最大振幅点近似在σ=0处得到，纳米梁振动呈现线性振动。由图4及幅频响应方程可以得到，反馈增益参数是通过改变非线性项的值实现对纳米梁非线性振动的控制。因此可以选择适当的反馈增益参数，实现对纳米梁振动的稳态控制。

图3 无量纲阻尼不同时的幅频特性曲线Fig.3 Amplitude-frequency curves for different-dimensionless damping coefficient

图4 反馈增益参数K不同时的幅频响应曲线Fig.4 Amplitude-frequency curves for different-parameters K of feedback gains

图5给出了纳米梁与极板间初始距离不同时的幅频特性响应曲线。当初始间距为470、450 nm时，在σ=0的左区间，存在多值区间，系统振动不稳定，由于非线性项的作用，幅频特性响应曲线向左偏离σ=0轴。由图5可得，随着纳米梁与极板间距初始距离减小，系统振动响应逐渐趋于稳定，最大振幅减小，曲线向左偏离σ=0轴减缓。

激励电压不同时，最大振幅与纳米梁长度的关系曲线如图6所示。由图6可知，当激励电压幅值相同时，最大振幅随着纳米梁长度的增加而增加。且当纳米梁长度相同时，最大振幅随着激励电压幅值的增加而增加。当系统阻尼不同时，最大振幅与纳米梁长度的关系曲线由图7所示。由图7可知，阻尼相同时，最大振幅与纳米梁长度正相关，且当纳米梁长度相同时，最大振幅与阻尼值同样正相关。

图5 梁与极板距离不同时的幅频响应曲线Fig.5 Amplitude-frequency response curves when the initial distance between nanobeam and plate is different

图6 交流激励电压幅值不同时最大振幅随纳米梁长度变化曲线Fig.6 The maximum amplitude of the AC excitation voltage amplitude is different from that of the nanobeam

图7 阻尼不同时最大振幅随纳米梁长度变化曲线Fig.7 Curves of maximum amplitude with nanometer beam length when damping is different from that of the nanobeam

反馈增益参数不同时临界电压与纳米梁长度的关系曲线如图8所示。由图8可知，反馈增益参数相同时，临界电压与纳米梁长度负相关。当纳米梁长度相同时，临界电压与反馈增益参数负相关。

图8 反馈增益参数不同时临界电压随纳米梁长度变化曲线Fig.8 Curves of critical voltage as a function of nanobeam length when feedback gain parameters are different from that of the nanobeam

结合图2～图5，通过交流激励电压、无量纲阻尼、反馈增益参数和梁到极板距离能够得到非线性微分方程里非线性项的大小。通过改变以上几个参数，可以改变非线性项数值大小，继而控制和降低纳米梁振动系统的非线性。当交流激励电压从0.25 V降到0.1 V时，系统的非线性减小约60%左右。当无量纲阻尼从0.058 5增大至0.087 8时，系统的非线性减弱40%左右。增大反馈增益参数或减小梁与极板距离，能够使系统的非线性振动逐渐趋于稳定。图6～图8分别反映了交流激励电压幅值、阻尼值和反馈增益参数与纳米梁长度的关系。

5 近似解和数值解对比结果

为了使论证结果具有正确性和客观性，在近似解法的基础上，进一步算出了数值解，从而可以根据两种解法进行对照。

令u=φ(x)q(t)，由式(10)可以得到：

(21)

(22)

根据式(21)、式(22)，通过程序可以得到数值解结果。以交流激励电压0.1 V和0.2 V时的近似解幅频响应曲线为例，将数值解图像绘制在近似解幅频特性曲线图上，其对比结果如图9所示。总体来说两种曲线符合情况较好，近似解与数值解客观误差必然存在，但是，微小误差对总体结果的影响可以忽略。两种计算结果良好的贴合性，说明本文近似计算解法具有合理性和客观性。

图9 近似解(MMS)和数值解(LTI)运算结果对比Fig.9 Approximate solution (MMS) and numerical solution (LTI) operation result comparison chart from that of the nanobeam

6 结论

(1)通过加载交流激励电压控制纳米梁振动，硅压阻膜片阻值随纳米梁振动发生变化，利用这种阻值变化作为反馈信号来控制纳米梁非线性振动。这种方法可以较好地控制纳米梁的非线性振动行为。根据近似计算结果，可以得到交流激励电压、无量纲阻尼、反馈增益参数和极板与纳米梁间距的幅频响应关系曲线图。

(2)交流激励电压、无量纲阻尼、反馈增益参数和梁到极板距离能够改变非线性项数值大小，继而控制和降低纳米梁振动系统的非线性。当交流激励电压从0.25 V降到0.1 V时, 系统的非线性减小约60%。当无量纲阻尼从0.058 5增大至0.087 8时，系统的非线性减弱约40%。增大反馈增益参数或减小梁与极板距离，能够使系统非线性振动逐渐趋于稳定。

(3)临界电压与反馈增益参数负相关。最大振幅与阻尼负相关，但是最大振幅与激励电压正相关。为了使非线性振动趋于稳定，根据研究结果对各参数进行调整，可以得到较好的控制效果。