从全等到相似由特殊到一般

浦叙德

九年级下册共4章内容，其中“二次函数”是初中“函数”板块的收官之章，“图形的相似”是初中“几何”板块的收官之章，“锐角三角函数”是“数形结合代表之一的三角”板块的收官之章，“统计和概率的简单应用”是“统计和概率”板块的收官之章。这样4章内容放在一起，正好使初中数学“代数、几何、统计与概率”四大板块完美收场，至此，初中数学学段学习告一段落。随着时代的发展，对我们初中生数学学习的要求也在不断提高。原来我们主要以掌握基础知识技能会解题为主，后来逐步发展到通过数学学习提高各种能力，现在要求发展我们的数学核心素养。这就说明，数学学习过程中仅掌握一个一个的知识点是远远不够的，需要我们把这些知識点连成线、构成知识系统。只有从宏观、中观、微观三个层面掌握知识及相互关联，才算真正掌握了数学知识。下面就从三个层面向同学们介绍基础知识及其相互关系。

一、宏观认识“图形的相似”

要宏观认识“图形的相似”，必须从研究几何对象的基本方法说起。研究几何对象，一般先认识一个几何对象，再认识两个几何对象之间的关系。如认识线段、角，我们都是先认识线段、角的定义，再学习线段、角所具有的性质判定，在此基础上研究两条线段、两个角之间的关系。认识三角形也同样如此。我们先学习一个三角形的定义，再学习三角形的性质和判定，然后用定义、性质、判定解决相关问题。接着研究两个三角形之间的关系，就出现了三角形的全等与三角形的相似。显然，“图形的相似”是建立在“图形的全等”基础上的延续，两个图形全等是形状和大小完全一样，而两个图形相似是只有形状相同、大小不一定相同。因此，图形的全等是特殊情形，而图形的相似是一般情形。所以说，从全等发展到相似，是由特殊走向了一般。要明白图形的相似研究的基本内容和方法，只需对照图形的全等的基本套路就可以了。

二、中观认识“图形的相似”

由于相似的两个图形形状是完全相同的，这点等同于全等，但大小不一定一样，这就存在着组成图形的元素（边、角、对角线等）大小之间存在着一定的关系。所以，第6章“图形的相似”中“6.1图上距离与实际距离”“6.2黄金分割”主要是引出“两条线段之比”及“黄金分割比”（两条线段之比的一种特殊情形），为学习“相似中研究对应边之间的关系”奠基，而“6-3相似图形”是本章研究两个图形之间相似的一般情形，“6.4探索三角形相似的条件”“6.5相似三角形的性质”“6.7用相似三角形解决问题”是两个图形之间相似的一种特殊情形——相似三角形，“6.6图形的位似”是“相似图形”中不仅具有大小关系，还具有位置关系的另一个视角的特殊情形。清楚了上述中观层面之间的相互关系，有助于我们学有方向。从相似图形走向相似三角形是图形的一般到特殊，从相似图形到位似图形是位置的一般到特殊。显然，作为“相似图形”中最为特殊的“相似三角形”，对它的研究最为系统，应该成为本章学习的重点和核心。

三、微观认识“图形的相似”

1.正确认识“比”的价值。

两条线段如果相等，它们的比为1;两条线段如果不相等，它们的比就不等于1。我们最为熟悉的比当数“比例尺”，比例尺=图上距离：实际距离。由于两个相似图形的大小一般是不同的，这样对应元素“边”之间就存在着大小关系，边的大小关系除了直接“比较大小”（显然不够入微）外，还可以通过“比”来体现，这就是本章中定义的“相似比”。显然，前两节内容主要是为引出“相似比”起了奠基作用。

2.全面认识“相似三角形”。

学习了相似图形的定义、性质和判定之后，本章的重点应放在相似三角形上。因为相似图形具有一般性，从边的视角看，图形可以是三角形、四边形、五边形等，它具有不确定性。通过前面几何知识的学习，我们已经知道三角形是最简单的封闭图形，限于我们初中生的接受和理解水平，研究透最为特殊的相似三角形是学习的重点。

按照研究全等三角形的思路与方法，我们依旧可以通过类比与对比去研究相似三角形。从内容上看，全等三角形主要研究定义、性质、判定、运用、应用，所以对于一般的相似三角形，也应该研究这些重点内容。全等三角形可以看成是相似比为1的特殊相似三角形;全等三角形的性质主要是通过边、对应线段（中线、高、角平分线）、角、周长、面积等体现，那么相似三角形的性质也可以通过上述量的研究体现;全等三角形的判定主要是通过SAS、ASA、AAS、SSS和特殊的HL体现，相似三角形的判定也应该类比和对比全等进行。

上述研究都是静态研究，而两个图形之间的关系还可以从动态角度认识。全等三角形有平移、翻折、旋转三种全等变换，利用三种变换很容易在复杂图形中找到两个对应的全等三角形。同样，研究相似三角形，一些基本图形的认识就显得非常重要，它同样有利于我们在复杂图形中识别相似三角形，更有利于我们找对应的边与角。如我们常说的“A”型、“X”型、“平行”型、“旋转”型、“K”型等，这些基本图形我们必须非常熟练地记住并学会识别与运用。

3.系统认识“图形的位似”。

在中观认识中我们已经介绍了从“相似图形”到“相似三角形”是图形的一般到特殊，从“图形的相似”到“图形的位似”是从不具备特定位置关系的两个相似图形到具有特殊位置关系的两个相似图形，特殊位置体现在位似图形的对应点连线通过同一个点。这样，我们可以得出，位似图形具有相似图形的一切性质，还具有自身的特性。抓住了这一点，我们就真正掌握两者的联系与区别了。

总之，初中几何的研究内容和方法是非常清晰的，一条知识线是从一个图形的研究开始，分别研究线段、角、三角形、四边形、多边形、圆等;另一条知识线是从两个图形的相互关系开始的，如相交线、平行线、对顶角、互余、互补、全等三角形、相似三角形、全等图形、相似图形等。一个视角是从静止的角度认识图形，另一个视角是从运动的角度认识图形。当然，还有从直线型走向曲线型（圆）视角，从全等变换到相似变换视角，最综合的还有数形结合的研究视角，如函数（含三角函数）。只有站在较高的角度来认识“图形的相似”这章，充分利用类比和对比的数学思想方法，我们才能高屋建瓴，掌控全章。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区教师发展中心）