传送带模型常考问题分类解析

◇ 湖北 许 文

传送带是力学问题中的一个经典模型,它能将物体的受力分析、运动过程分析、力与运动的关系、功与能的关系、运动学图象与动力学图象等力学主干知识串在一起,衍生出经典的力学问题,备受高考关注．本文结合典型实例,分类解析传送带模型中常考的几类问题．

1 传送带上的动力学问题

动力学问题基于牛顿运动定律与运动学规律,从力与运动的角度对物体进行分析研究．对传送带上的物体的受力分析,关键是对摩擦力Ff的分析．传送带上的物体可受静摩擦力或滑动摩擦力的作用,摩擦力的方向需结合物体的运动状态来判断．在经过临界状态(物体与传送带等速)时,物体受到的摩擦力(大小及方向)可能发生突变,力的变化会导致物体的运动状态发生改变,物体在传送带上可能做单一方向的直线运动，也可能做往返直线运动,即使是做单一方向的直线运动，物体的加速度也可能发生改变,出现临界状态与极值问题,使问题更具复杂性;有时物体的临界状态还隐含在图象或文字叙述中,使问题具有一定的隐蔽性．

1.1 传送带上物体运动分析

图1

A.物块B先做匀加速直线运动,后与传送带保持相对静止

B.物块B最终一定能追上物块A

C.在t=0.24 s时,A、B物块速度大小相等

D.在t=5.4 s前,A、B两物块之间的距离先增大后不变

aB=g(sin 37°+μBcos 37°)=10 m·s-2,

物块A开始下滑的加速度

aA=g(sin 37°+μAcos 37°)=12 m·s-2,

图2

1.2 传送带与运动图象的结合

(1)传送带的速度大小v0;

(2)传送带的长度L;

(3)物体A、B、C与传送带间的动摩擦因数及C从传送带左端P到右端Q所用的时间tC．

(2)v-t图线与t轴围成图形的面积表示物体的位移,由图乙知物体A的位移大小xA=36 m,故传送带的长度L=36 m.

1.3 传送带上的划痕长度

图3

(1)物块A由传送带顶端滑到底端经历的时间;

(2)物块A、B在传送带上显示的划痕长度之比．

物块A与传送带共速后,由牛顿第二定律有

mgsin 37°-μmgcos 37°=ma2,

代入数值得a2=2 m·s-2.

(2)在物块A的第一个加速过程中,物块A在传送带上显示的划痕长度为L1=v带t1-x1=0.45 m.

在物块A的第二个加速过程中,物块A在传送带上的划痕长度为

所以物块A在传送带上显示的划痕长度为LA=L2=1 m.

由分析知物块B的加速度与物块A在第二个加速过程的加速度相同,从传送带顶端加速到底端所需时间与t2相同．物块B在传送带上的划痕长度为

故物块A、B在传送带上的划痕长度之比为LA∶LB=1∶1.

2 传送带上的功能问题

功是能量变化的量度,不同性质的力做功对应不同形式能的变化．传送带模型中的功能分析如表1所示．

表1

图4

(1)系统因摩擦产生的热量;

(2)传送带多消耗的电能;

(3)物体的最终状态及该状态后电动机的输出功率．

物体相对传送带向下运动的距离Δx1=x1+v0t1=21 m.

物体与板碰撞后,以速度v1反弹,由于v1>v0,故反弹后物体开始相对传送带向上滑,受到的摩擦力方向沿传送带向下,设物体沿传送带向上做匀减速运动的加速度大小为a2.

物体相对传送带向上运动的距离Δx2=x2-v0t2=0.2 m.

物体相对传送带向下运动距离Δx3=v0t3-x3=4 m;整个过程中物体相对带运动距离

Δx=Δx1+Δx2+Δx3=25.2 m．

或画出如图5所示物体和传送带运动的v-t图象(设沿传送带向上为正方向),由两图线与坐标轴所夹的面积可得相对位移的大小：

则Δx=Δx1+Δx2+Δx3=25.2 m.

从而得系统因摩擦产生的热量

Q=μmgcosθΔx=100.8 J.

图5

(2)传送带多消耗的电能是因为传送带要克服物体的摩擦力做功,它与传送带对地运动的位移有关．在物体向下加速运动和相对传送带向下运动的减速阶段,带受到的摩擦力对传送带做负功消耗电能,在物体相对传送带向上运动的减速阶段,带受到摩擦力对传送带做正功,减少电能损耗．则

ΔE电=-Ff(x带1-x带2+x带3)=
-μmgcosθ(v0t1-v0t2+v0t3)=-76.8 J,

即传送带多消耗的电能为76.8 J．

第(1)问中物体相对传送带的运动有三个阶段,第一与第三个阶段物体相对传送带向下滑动,第二个阶段物体相对传送带向上滑动．在这三个阶段中物体相对传送带运动的距离通过匀变速运动规律分段求出,但选取传送带为参考系或通过v-t图象的物理意义来求较为简洁．同时我们可以看出,在有往返的运动过程中两物体间的相对运动的路程(距离)不等于相对运动的位移大小．

第(2)问关于驱动传送带运转的电动机多消耗的电能,其实质是传送带要克服物体的摩擦力做功,它与摩擦力大小、方向及传送带对地运动的位移有关．要注意到在物体向下加速运动和相对传送带向下运动的减速阶段,传送带受到的摩擦力对传送带做负功,电动机驱动传送带匀速转动,因此电动机要额外消耗电能;同理,在物体相对传送带向上运动的减速阶段,传送带受到的摩擦力对传送带做正功,减少电能损耗．

第(3)问关于物体最终运动状态的判断是一个难点．突破此难点仍然需要正确地对物体进行受力与运动过程分析,从力与运动、功与能的观点来寻找运动过程的本质特征,发现规律,通过联想、类比的方法,推断物体的最终状态．物体与传送带因滑动摩擦而产生的热量Q=Ffx相对,这里x相对是物体与传送带相对运动的距离(或路程),不一定等于相对位移的大小．