圆锥曲线存在性问题探究与思考

王伟

[摘  要] 圆锥曲线是一类开放性问题，问题的突破要求学生能够针对问题条件，结合已有知识和策略方法对其深入探究，需要学生具备扎实的基本和相应的数学思想. 文章剖析圆锥曲线问题的背景，探究两道代表性问题的突破过程，总结相应的解题策略，提出相应的教学建议.

[关键词] 圆锥曲线;存在性;数值;几何;面积;平行四边形

问题背景

圆锥曲线是高中数学的重难点内容，高考特别注重对该内容的考查. 存在性問题是其中较为特殊的一类问题，包括与代数数值相关的存在性问题和几何元素相关的存在性问题. 该类问题一般综合性较强，除了可以考查圆锥曲线的定义、几何性质、位置关系外，还常常与向量、方程、不等式等内容联合考查，因此探索性强，具有极高的难度，需要学生采用一定的解题策略来加以突破，下面对其进行深入探究.

实例探究

圆锥曲线存在性问题常作为高考压轴题出现，数值类存在性问题有定值、最值等多种问题形式，而几何元素类存在性问题有定点、定直线、定形状等多种形式，下面结合实例加以探析.

评析：上述第（2）问探究四边形OAPB为平行四边形的情形，属于圆锥曲线几何形状存在类问题. 求解时提炼出平行四边形的特性，将其转化为相应的代数条件，然后联立直线与椭圆的方程，同样结合韦达定理，通过设而不求的方式获得了为平行四边形时的条件，从而完成了问题的高效作答.

策略提炼

圆锥曲线存在性问题是一类较为典型的问题，具有较强的探究性. 从上述两道题的突破过程来看，该类问题的求解具有一定的规律性，可以采用一定的策略，按照一定的流程进行，总结如下.

求解存在性问题一般采用“肯定顺推法”，即将不确定的问题假设为存在，设出关键的元素条件（点坐标、线斜率、曲线参数等），联立相关曲线的方程，结合问题条件构建相应的代数模型，通过设而不求的方式来完成求证.

另外，从上述两道存在性问题的突破过程来看，可以将步骤细化为如下四步.

第一步：设出直线与曲线的交点坐标，如（x1，y1）和（x2，y2）;

第二步：联立直线与曲线的方程，通过消x或消y的方程，获得相应的一元方程，再由韦达定理来表示相关参数关系式;

第三步：根据假设的存在性问题提炼相应的条件，结合第二步获得的参数关系式来构建相应的代数模型;

第四步：深入分析代数模型，推理结果，确定问题情形是否存在.

其中第三步提炼存在性问题的成立条件是问题突破的核心，也是后续构建分析模型的基础.在提炼条件时要注意两点：一是确保提炼条件的全面性，必要时对其进行分类讨论;二是确保所提炼条件的准确性，不能将性质条件与判定条件相混淆. 这就需要学生在复习时深入挖掘圆锥曲线的关系特性，形成系统的知识体系.

探究思考

圆锥曲线存在性问题属于探究性问题，从上述两道存在性问题突破过程来看，其解题过程和方法策略具有一定的代表性，有一定的参考价值，下面提出一定的教学建议.

1. 透视信息表象，挖掘问题本质

探究存在性问题的首要条件是精准审题，包括提取关键信息，读懂题意，能够从题干信息中获得直切问题本质的内容. 例如上述问题中直线与曲线有两个交点，实际上就是要求所联立的方程判别式Δ>0;给出两直线的乘积的值，实际上就是要求学生能够根据直线方程来建立代数模型. 基于上述要求，教师在教学时就应注重圆锥曲线问题的审题环节，引导学生逐字审题，读懂题意，能够发现题干信息中的关键词，包括“有且”“仅有”“各异”等. 同时建立核心词眼与圆锥曲线性质特征之间的关联，实现条件的具体化和代数化.

2. 回顾反思总结，形成解题策略

解题的意义在于“解一题，通类题”，即通过典型问题的探究突破，从中归纳总结出类型问题的解决思路和方法策略. 例如上述两道典型存在性问题在突破时均是采用肯定顺推的方式，假设情形存在，设出关键参数，转化存在性条件，联立方程构建模型，通过设而不求细化证明. 因此在实际教学中教师不能仅开展考题的过程探究，而应将其上升到解题策略的归纳总结层面，引导学生回顾解题环节，贯通整个解题思路，深入了解问题的基本结构，思考探究过程的关键步骤. 同时类比同类型题目，思考问题的异同，在解法上有哪些相似之处，以及该类问题在突破时涉及哪些思想方法，帮助学生逐步形成该类问题的解题策略.