一类具有反应扩散的两种群竞争的双稳定性

陈梅香， 谢溪庄

(华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021)

1 预备知识

在Lotka-Volterra竞争模型的基础上,Gilpin等[1-2]通过对果蝇的系列实验,得到Gilpin-Ayala竞争模型为

(1)

式(1)中：(x1(0)，x2(0))=x0∈R2+.

对于该模型,有下面4种竞争结果(详见文献[3],取τ1=τ2=0时):

此外,文献[4]考虑了具有阶段结构和非局部空间效应影响的Gilpin-Ayala竞争模型的全局稳定性;文献[5]讨论了带有正反馈作用下的Gilpin-Ayala模型的动力学性态;文献[6-9]则研究了该模型的随机情形.特别地，Liao等[10]研究了带有反应扩散项的Gilpin-Ayala模型,并通过构造李雅普诺夫函数,得到正平衡态的全局渐近稳定性.受文献[11-12]关于单调半流存在双稳定性的启发,本文考虑带有反应扩散项和Neumann边值的Gilpin-Ayala竞争系统，即

(2)

式(2)中：Ω⊂Rm(m≥1)是一个有界的，开凸区域；∂Ω是一个C2+α(α∈(0，1))流形；v是∂Ω的单位外法向量；ui(x，t)，i=1，2是种群i在t时刻x位置的密度；di是种群i的扩散系数；bi是种群i的内禀增长率；aii是种群i的密度制约参数，a12和a21是两种群竞争系数，且假设θi≥1，i=1，2或θi<1，i=1，2.

2 平衡解的稳定性及其证明

Jiang等[11]给出单调半流和抽象竞争系统的双稳定性(也称为“鞍点结构”)理论.假设X1和X2是分别具有正锥X+1和X+2的两个有序的Banach空间,序关系记为“≤”.令X+=X+1×X+2,则intX+=intX+1×intX+2.记K=X+1×(-X+2),那么,X=X1×X2也是具有正锥K的有序的Banach空间,其中,≤K(

A1) 存在τ>0,使得算子φτ是严格α-contraction,即存在0

A3) ∀t>0，φt(Cj)⊂Cj，j=0，1，2,半流φt在X+上是严格K-monotone,在C0上是严格K-order,且在Ci，i=1，2上是强序保持半流;

引理1(文献[11]的定理2.4) 假设C1-半流φt满足A1)～A4),且φt在intX+上是严格K-monotone,则Γ=X+(B1∪B2)⊂C0∪{E0}关于K-order是无序的,且是余维1的正不变流形，其中,B1，B2分别是E1，E2的吸引域.

引理2(文献[13]的定理2.3.22) 令(μi，φi(x))，i=0，1，2，…，是在Ω上具有齐次Neumann边界条件的算子-Δ的特征值和特征函数，则0=μ0<μ1<μ2<….

证明:对系统(2)在平衡解做线性化,可得该系统在平衡解的特征方程为

当(u，v)=E0=(0，0)时，系统在E0处的特征方程为(λ+μid1-b1)(λ+μid2-b2)=0.取i=0时，可以看出该方程有两个实的正根，E0=(0，0)是线性不稳定的.

3 双稳定性结构及其证明