循环图C2n(1,n-1)的临界群

王倩南，侯耀平

(湖南师范大学 数学与统计学院，湖南 长沙，410000)

1 连通图的临界群

连通图的临界群是有限阿贝尔群，它的阶数是图的生成树的数目，由矩阵树定理可知，临界群与图的Laplacian矩阵有关，设图G是有n个顶点的简单图，那么图G的拉普拉斯矩阵定义如下：L(G)=D(G)-A(G)，其中D(G)=diag(d1,d2,…,dn)是图的度矩阵，A(G)是图的邻接矩阵。

将图G的拉普拉斯矩阵L(G)看作Zn→Zn的映射，它的余核有如下形式：

cokerL(G)=Zn/(L(G)Zn)≅Z⊕K(G)。

其中：K(G)是图G的临界群[1]。

图G的临界群K(G)的阶数等于图G的生成树的数目，计算图的拉普拉斯特征值，并应用矩阵树定理[2]可知图的生成树数目。 关于图的临界群的研究，目前研究成果已有较多，比如莫比乌斯阶梯图Mn[3]、Kneser图[4]、Peisert图[5]、迭代锥[6]、阈图[7]、完全多部图[8]等多种类型阀图的临界群。 除此之外，对于临界群上的代数性质也有相关研究，比如临界群的秩[9]。

循环图的定义如下：Cn(s1,s2,…,sk)的顶点集为{v1,v2,…,vn}，它的2个顶点vi与vj之间存在边当且仅当|i-j|=sxmodn，x∈{1,2,…,k}，其中i,j∈{1,2,…,n}是顶点的下标。

这篇文章主要研究循环图C2n(1,n-1)的临界群，它的结构如图1所示。

图1 循环图C2n(1,n-1) Fig.1 Cyclic GraphC2n(1,n-1)

循环图C2n(1,n-1)的邻接矩阵为

其中：A(Cn)表示圈Cn的邻接矩阵。

引理1 循环图C2n(1,n-1)的临界群的阶数为2n·8n-1。

证明 设λ是A(Cn)的特征值，即A(Cn)X=λX，X是相应的特征向量，则有

即2λ为A(C2n(1,n-1))的特征值，又有

即0为A(C2n(1,n-1))的n重特征值。

故循环图C2n(1,n-1)的临界群的阶数为2n·8n-1。

对于A,B∈Zm×n2个矩阵，如果存在P∈GL(n,Z)，Q∈GL(n,Z)使得B=PAQ，则说A与B是等价的，记成A∽B，也可以说，B能够由A经过整数初等变换所得。下面使用的主要方法是先找到生成元以及生成元之间的关系矩阵，再对关系矩阵进行整数初等行列变换，最终将生成元之间的关系矩阵化为它的施密斯标准型。

2 关系矩阵

循环图C2n(1,n-1)的结构如图1所示，它的顶点集是{u1,u2,…,un,v1,v2,…,vn}，它的拉普拉斯矩阵是

令

则

令x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn表示余核Z2n/(imT)的生成元，则有

xi=-4yi-1-xi-2, 4xi=-8yi,i∈{1,2,…,n},

所以，余核Z2n/(imT)≅Z⊕K(G)，其中K(G)可以由x1,x2,y1,y2,…,yn生成，并且有

当n=2m+1时，上述关系的第n-2,n-1,n个式子分别为

综上所述，当n=2m+1时，生成元x1,x2,y1,y2,…,yn之间的关系矩阵如下：

类似地，当n=2m时，生成元x1,x2,y1,y2,···,yn之间的关系矩阵如下：

3 循环图C2n(1,n-1)的临界群

引理2 当n=2m+1时，生成元x1,x2,y1,y2,…,yn之间的关系矩阵M～8In-4⊕M′，其中：

证明 1)当n≡2 mod 4时，令

则：

令

则：

即M∽8In-4⊕M′,

其中：

2)当n≡0 mod 4时，同理可得。

引理3 当n=2m+1时，M′∽diag(1,2,8,8,8n,0)。

证明 1)当n≡2 mod 4时，令

即PM′Q∽diag(1,2,8,8,8n,0)。

2)当n≡0 mod 4时，同理可得。

引理4 当n=2m时，生成元x1,x2,y1,y2,…,yn之间的关系矩阵N∽8In-4⊕N′，其中：

证明 1)当n≡2 mod 4时，令

则：

令

则：

即N∽8In-4⊕N′,

2)当n≡0 mod 4时，同理可得。

证明 1)当n≡2 mod 4时，令

则：

即PN′Q∽diag(2,2,8,8,4n,0)。

2)当n≡0 mod 4时，同理可得。

定理1 由引理2到引理5直接可得，当n≥3时，循环图C2n(1,n-1)的临界群K(C2n(1,n-1))的代数结构如下：

4 结论

本文借助初等行列变换法对生成元的关系矩阵进行处理，研究了循环图C2n(1,n-1)的临界群，并给出了相应的代数结构。