三议三磨：实现运算教学算理与算法的无缝衔接

【摘要】本文以《两、三位数除以一位数（首位能整除）》的三次磨课议课为例，通过结构化呈现算理算法，促进学生笔算模型建构，沟通算理与算法之间的联系，促进学生既掌握运算技能又发展思维能力。

【关键词】运算教学 算理 算法 磨課 议课

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）03A-0111-02

理解算理、掌握算法一贯以来都是运算教学的重点。算理是算法的本源，算法是算理的体现，教师在教学过程中也时刻关注着如何更好地沟通算理与算法之间的联系，让学生既掌握运算技能又发展思维能力。但往往事与愿违，一节课下来，总有这样那样的典型性错误和非典型性错误出现，是教师教学的失误？是学生学习习惯和方法上的缺失？本文以《两、三位数除以一位数（首位能整除）》一课的三次磨课议课为例，谈谈如何实现在运算教学中算理与算法的无缝衔接。

一、一议一磨：重视算理理解，忽视算理算法的沟通

在第一次讨论中，团队成员确定了“相关口算复习—探索两位数除以一位数的算理算法—迁移三位数除以一位数的算法—总结算法”这样的教学流程。

其中“探索两位数除以一位数的算理算法”这一环节最为重要，例题通过“把46个羽毛球，平均分给两个班，每班分得多少个？”这样的情境，让学生在分羽毛球的过程中理解两位数除以一位数（首位能整除）的算理，即先用40÷2=20，再用6÷2=3，最后20+3=23。对应算理的三部曲揭示竖式计算的算法，先用两位数中十位上的数除以除数得商十位上的结果，再用两位数个位上的数除以除数得商个位上的结果，最后将商的十位与个位合起来就是完整的商。在这一过程中，“怎样让学生对算理有深刻的认知”与“结合算理形成竖式计算的一般方法”成为讨论的重点，最终确立了让学生动手操作，通过摆小棒分、看图分这样的实际操作活动理解算理，掌握算法。教学设计如下：

1.情境导入

教师出示情境图，学生根据问题列式46÷2。

2.明晰算理

师：46÷2，商是几？

师：还没有答案的同学可以用小棒摆一摆，看看结果是多少;已经有答案的同学也可以用小棒摆一摆，验证一下答案是否正确。

学生摆小棒，一人板演分一分。

师：第一步4个十怎么分，分了几个十根，有没有分完？第二步6个一怎么分，分了几根，有没有分完？

生1：先分整捆，分掉了40根，没有剩余，再分单根，分掉了6根，没有剩余，合起来每班分到23根。

师：还有不一样的想法吗？

生2：我是看着图分的，每班先分得2筒，是20个，再分得3个，合起来是23个。

生3：40÷2=20，6÷2=3，20+3=23。

3.探索笔算算法

师：按我们得出的计算顺序，除法可以用竖式来计算，也就是笔算。按刚才我们的计算顺序，竖式上先算什么？

生1：先算4除以2。

师：2写在哪一位？为什么？

生2：4在十位上，表示4个十，4个十除以2得2个十，2写在十位上。

师：十位上分掉了多少？有没有分完？怎样计算？

生3：十位上分掉4个十，没有剩余。

师：十位算完了，接下来算什么？

生4：6个一除以2得3个一。

师：个位上的6除以2，商3写在哪一位？为什么？

生5：3表示3个一，写在个位。

师：个位上分掉了多少？有没有分完？

生6：个位上分掉了6个一，没有剩余。

师：十位上的计算对应分小棒、分羽毛球的哪一步？个位上的呢？

（学生交流，并把竖式计算过程在自备本上写一写）

4.算法迁移

师：两位数除以一位数我们学会了，那么三位数除以一位数会吗？试试看？

（学生尝试计算后交流）

小结：三位数除以一位数，先用百位上的数除以一位数，商写在百位，再移下十位上的数，用十位上的数除以一位数，商写在十位，最后移下个位上的数，再用个位上的数除以一位数，商写在个位上。

二、二议二磨：重视算理算法的结合

第二次讨论，结合第一次试教的课堂观察，团队成员发现虽然结合动手操作，学生理解了46÷2的算理，但在笔算教学中，缺乏算理算法的对比，并没有沟通好算理与算法之间的联系，部分学生只是被动地接受竖式计算的程序，没有深入思考为什么要列竖式计算的本质，导致笔算算法与算理脱节。同时这也是学生第一次接触被除数是两位数的除法笔算，对竖式计算的步骤和格式没有深入理解，只停留在接受层面。因此，在教学过程中，笔算的每一个步骤都需要讲解，由此带来教师讲得太细反而使学生对笔算的步骤没有理解的缺陷。因此在第三环节的算法迁移环节，部分学生没有掌握笔算的步骤，练习时也只是模仿例题的计算程序，导致计算速度和正确率不高，并出现了大量的格式错误。

针对第一次试教的情况，笔者确定了在算理交流环节，将不同的算理适度提炼总结：不管是用小棒分，还是看图想或者看算式想，都是先把40除以2，再把6除以2，最后将这两个得数合起来是23。

在探索笔算环节，使用多媒体课件出示竖式的十位，迁移表内除法笔算的经验计算，再使用多媒体出示竖式的个位进行笔算。这样将竖式计算与算理的三个步骤对应，以此加深学生的理解。

第二次试教，通过三种算理的对比总结，结合板书呈现，大部分学生能根据算理理解笔算的程序，知道列竖式计算分成三步，第一步计算被除数的十位除以除数，第二步计算被除数的个位除以除数，第三步将前两步的结果合起来得到商。但在课堂记录和后测中笔者发现，整个教学过程中，笔算的过程仍显得繁杂，后测数据显示较第一次试教略有提升，但还有部分学生的算法有误。主要原因：虽然算理和算法得到沟通，但教学过程中学生缺乏整体思考，不利于学生总结算法。

三、三议三磨：整体把握算理，建构算法模型

针对两次试教都不能完成教学任务，三位数除以一位数的笔算迁移情况不理想的情况，团队成员建议，将这部分内容划分为两个课时，第一课时教学“两位数除以一位数的笔算”，在学生扎实掌握两位数除以一位数的竖式计算程序的情况下再教学第二课时“三位数除以一位数的笔算”。

第二次试教虽然学生计算的速度和正确率都有所提升，但不论是算理的呈现还是竖式计算的步骤都过程琐碎，不利于学生对笔算程序的整体认知。因此，在算理与算法的教学环节要重视整体的建构。

首先在明晰算理环节，将学生的三种资源对比归纳为三句话：先用4个十除以2得个十，分掉了4个十，再用6个一除以2得3个一，分掉了6，2个十和3个一合起来是23。其次在探索笔算方法环节，先引导学生思考：按第一环节的计算顺序，可以分几步列竖式计算？学生交流达成共识：分两步，第一步算4个十除以2得个十，第二步算6个一除以2得3个一。笔算后引导学生整体回顾反思，笔算46÷2，先算什么，再算什么，让学生整体认知笔算的程序。

四、测试分析

每次试教后，均对试教班级进行了相同内容的课后测试，下图为三次后测的结果统计。

需要说明的是，后测题中的笔算题结构与例题一致，算理题是例题的变式，检测了学生能否顺利将新知正迁移，解决同类问题。三次教学中，被测试的三个班级无论是平时课堂的反映还是学期的测试成绩，学业水平不分伯仲，三次后测的数据足以说明不同的教学策略给學生带来不同的迁移能力的提升。

第三次试教的结果是最理想的，分析原因主要有以下两点：

（一）有舍有得，突出本质，解决核心问题

结合前两次新授内容过多，三位数除以一位数学生掌握不扎实的情况，舍去部分内容，基础知识得到扎实建构。学生在笔算两位数除以一位数的算法还没有完全理解和掌握的情况下，就学习笔算三位数除以一位数是非常困难的，同时在算法的迁移上多一个步骤也增加了一个难度，舍去笔算三位数除以一位数的内容，学生就多了对比、练习、总结的时间，及时的练习巩固使得学生对笔算两位数除以一位数的程序和算理有了更加深刻的理解。

同时舍去琐碎问题，使得关键问题得到充分理解。在列竖式计算的过程中，“前两步分了多少，还剩下多少”这些学生在学习笔算表内除法时就有了相关经验的问题简单回顾，将注意力始终集中在“第一步计算什么”“第二步计算什么”“第三步怎样做”这三个问题上，便于学生聚焦这节课的核心内容。

（二）整体把握，突出结构，算理算法结合更紧密

在算理与算法的教学环节更重视整体的建构，对笔算的程序有整体的认知，使算理和算法都形成统一的结构，便于学生理解算理、形成算法。第三次试教，无论是哪种算理，都归纳于“4个十除以2得2个十”“6个一除以2得3个一”“2个十和3个一合起来是23”这三句话。算理的三个步骤与算法的三个步骤一一对应，也是这三句话，即第一步算十位、第二步算个位、得数就是十位和个位的结合。三个步骤的呈现，统一的叙述使得学生更能从整体上把握列竖式计算的程序，板块化呈现更便于学生突破这节课的学习难度，在认知上更结构化，有利于竖式计算模型的建构。而笔算前算法步骤的预计，笔算中三个步骤的概括，笔算后算法的总结，也让学生对算法的理解更清晰。

运算教学看似简单，实则繁杂，每一个计算程序的来龙去脉都有理有据，稍有不慎学生就会产生认知上的偏差，只有将算理与算法有效结合，并以学生更易接受的结构化认知方式呈现，才能真正达到理解算理、掌握算法的教学目的，提高学生的运算素养。

作者简介：任晓霞（1983— ），女，江苏常州人，大学本科学历，一级教师，主要从事小学数学教学与研究。

（责编 林 剑）