平面向量综合演练A卷

■刘中亮

一、选择题

1.如图1，设D，E为正三角形A B C中B C边上的两个三等分点，且B C=2，则等于( )。

图1

2.如图2，在△A B C中，∠B A C=60°，A B=5，A C=6，D是A B上一点，且，则等于( )。

图2

A.1 B.2

C.3 D.4

3.如图3，已知点M是边长为2的正方形A B C D的内切圆P内(含边界)一动点，则的取值范围是( )。

图3

A.[-1，0] B.[-1，2]

C.[-1，3] D.[-1，4]

4.设a0为单位向量，现有下列三个命题：①若a为平面内的某个向量，则a=|a|·a0；②若a与a0平行，则a=|a|a0；③若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。

其中假命题的个数是( )。

A.0 B.1

C.2 D.3

5.定义：|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角。若|a|=2，|b|=5，a·b=-6，则|a×b|等于( )。

A.-8 B.8

C.-8或8 D.6

6.在 四 边 形AB C D中，则四边形A B C D的形状是( )。

A.矩形

B.平行四边形

C.梯形

D.以上都不对

7.在平行四边形A B C D中，M是B C的中点，若，则λ+μ=( )。

8.已知向量，若向量与的夹角为60°，且则实数的值为( )。

9.设向量a=(a1，a2)，b=(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b=(a1，a2)⊗(b1，b2)=(a1b1，a2b2)。已 知 向 量，点P在y=cosx的图像上运动，点Q在y=f(x)的图像上运动，且满足(其中O为坐标原点)，则y=f(x)在区间上的最大值是( )。

10.已知函数f(x)=Asin(πx+φ)的部分图像如图4所示，点B，C是该图像与x轴的交点，过点C的直线与该图像交于D，E两点，则的值为( )。

图4

11.在矩形A B C D中，点F在边C D上。若，则的值为( )。

12.已知A，B，C是平面上不共线_的三点，O是△A B C的重心，动点P满足，则点P一定为△A B C的( )。

A.B C边中线的中点

B.B C边中线的三等分点(非重心)

C.重心

D.B C边的中点

13.记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin。若平面向量a，b，c满足|a|=|b|=a·b=c·(a+2b-2c)=2，则( )。

14.已知向量a，b，c满足|a|=|b|=a·b=2，(a-c)·(b-2c)=0，则|b-c|的最小值为( )。

15.如图5，在直角梯形A B C D中，DA=A B=1，B C=2，点P在阴影区域(含边界)内运动，则的取值范围是( )。边长为2，平面A B C内的动点P，M满足

图5

16.如图6所示，已知正三角形A B C的则的最大值是( )。

图6

17.如图7所示，已知直线l1与圆心为C的圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于不_同的A，B两点，对平面内任意点Q都有又点P为直线l2：3x+4y+4=0上的动点，则的最小值为( )。

图7

A.21 B.9

C.5 D.0

二、填空题

18.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λ a=0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λ a=μb，则a与b共线。

其中正确命题的序号为____。

19.下列叙述错误的是____(填序号)。

①若非零向量a与b方向相同或相反，则a+b与a，b之一的方向相同；②|a|+|b|=|a+b|⇔a与b方向相同；③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λ a；；⑤若λ a=λ b，则a=b。

20.在平面直角坐标系x O y中，已知点A(-12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2+y2=50上，若，则点P的横坐标的取值范围是____。

21.定义平面向量的一种运算a☉b=|a+b|×|a-b|×sin，其中是a与b的夹角。现给出下列命题：①若=90°，则a☉b=a2+b2；②若|a|=|b|，则(a+b)☉(a-b)=4a·b；③若|a|=|b|，则a☉b≤2|a|2；④若a=(1，2)，b=(-2，2)，则

其中真命题的序号是____。

22.设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合。若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模，则称a是W的极大向量。现有下列命题：

①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c=-a-b，使得W={a，b，c}中的每个元素都是极大向量；③若W1={a1，a2，a3}，W2={b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量。

其中真命题的序号是____。

23.在△A B C中，A B=B C=2，A C=3，设G是△A B C的内心，若则的值为____。

24.如图8，已知△A B C的外心，垂心分别为O，H。若，则m=____。

图8

25.对于任意两个非零的平面向量m，n，定义m，n之间的新运算。已知非零的平面向量a，b满足：a⊗b和b⊗a都在集合}中，且|a|≥|b|。若向量a，b的夹角则

26.已 知，则的最大值为____。

27.已知向量其中O为坐标原点，若向量与的夹角在区间内变化，则实数a的取值范围是____。

28.如图9，已知A C=2，B为A C的中点，分别以A B，A C为直径在A C同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则的最大值为____。

图9

29.在如图10所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与x a+y b(x，y为非零实数)共线，则的值为____。量，若M，N，P三点共线，则λ=____。

图10

31.如图11所示，在梯形A B C D中，

30.已知e1，e2为平面内两个不共线的向，若

图11

32.在 △A B C中点P是△A B C所在平面内一点，则当取得最小值时

三、解答题

33.设e1，e2是两个不共线的向量，已知

(1)求证：A，B，D三点共线。

34.已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)·(2a+b)=61。

(1)求a与b的夹角θ。

(2)求|a+b|的值。

35.如图12，在△O C B中，A是C B的中点，D是 将分成2∶1的一个内分点，D C与O A交于点E，设

图12

(1)用a和b表示向量

36.已知向量a=(cosx，sinx)，b=(3，

(1)若a∥b，求x的值。

(2)记f(x)=a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值。