二次B样条曲线及其应用

王 芳，白根柱,2*

(1.浙江长征职业技术学院 基础部，杭州 310023；2.内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 28043)

0 引言

曲线曲面造型技术起源于航空工业、汽车制造、船舶的外形零件的设计.Hoffmann和Hopcroft[1]对隐式代数曲面光滑拼接方法进行了总结和推广，给出了光滑拼接两个一般二次曲面次数较低的拼接曲面；Warren[2]介绍了隐式代数曲面几何连续性的一种新定义，并用代数理想生成元的方法得到光滑拼接两个曲面的生成元；吴文俊和王定康[3]用吴文俊特征列方法构造了代数曲面拼接曲面；朱汉东和金通光[4]用母线过度法构造光滑拼接曲面；陈法来[5]用分片代数曲面构造光滑拼接曲面；Hartmann[6]构造一个函数来拼接两个共面曲线，进而构造光滑拼接圆管道的拼接曲面；娄文平等[7]用Groebner基方法构造代数拼接曲面；程进三和高小山[8]在两个待拼接曲面的拼接线具有参数形式或可参数化时，给出了一阶光滑拼接曲面的构造方法；李耀辉[9]用代数结式方法构造了拼接曲面.上述方法可以用来解决一大类问题.但是，大多数方法都假定待拼接曲面有特定的形状，从而它们解决的问题有了局限性.这些局限性包括要求假定拼接线是平面曲线，待拼接曲面是二次曲面，拼接线是环线的或者要求待拼接曲面有交线或者轴线相交.即在代数曲面光滑拼接时，求理想的交或求齐次线性方程组的非零解等等.对于两个管道轴线异面的情形不是很凑效.雷娜等[10]用构造辅助圆柱的方法将轴线异面管道拼接问题转化成两个轴线共面的管道拼接问题.白根柱[11-12]给出了两个轴线异面圆柱面存在三次拼接曲面的充要条件，并给出了存在光滑拼接三次曲面时，两个圆柱面系数之间的关系以及证明了两个轴线异面的圆柱面在与轴线斜交的平面截口处若干种情形不存在光滑拼接曲面.白根柱提出基于轴线光滑拼接的管道拼接方法，王涵等[13]以圆柱螺旋线、圆锥螺旋线和空间Bezier曲线为轴线的广义管道拼接了轴线异面的管道.白根柱[14-16]用锥面交线为轴线的圆管道拼接了粗细相同和粗细不同圆管道拼接了轴线异面管道，王芳等[17-19]分别用有理Bezier曲线、拟三次Bezier曲线和带有两个形状参数的Bezier曲线为轴线的管道光滑拼接了轴线异面管道.乌仁高娃等[20-21]用带有两个形状参数的Bezier曲线、Hartmann函数为轴线的圆管道和椭圆管道拼接了轴线异面管道，白根柱[22]用均匀三次B样条曲线分三段光滑连接轴线异面管道轴线的基础上，实现了轴线异面管道分三段光滑拼接.本文研究利用二次均匀B样条曲线为轴线的管道来光滑拼接两个轴线异面管道拼接问题.

设两个轴线异面管道的参数表达式为:

其中当a1=a2=b1=b2时，Φ1和Φ2是粗细相同的两个圆管道，当a1=a2≠b1=b2时，Φ1和Φ2是粗细不同的两个圆管道，当a1=b1、a2=b2时，Φ1和Φ2是两个椭圆管道.Ni=(Ni1,Ni2,Ni3),Bi=(Bi1,Bi2,Bi3),i=1,2分别是s=0和s=1时的主法矢和副法矢.

是两个管道的轴线，其中L1位于OXY平面上与X轴相交，L2位于OYZ平面上与Y轴相交.

设V0(x0,y0,0)、V1(x1,y1,0)是L1上的两个点，V2(0,y2,0)、V3(0,y3,z3)是L2上的两个点，则以V0、V1、V2、V3为控制顶点形成一个空间控制多边形.

1 二次B样条曲线性质及其应用

定义1给定n+1个控制顶点V0,V1,V2,…,Vn，二次(三阶)B样条曲线的表达式:

是参数为s的二次分段多项式.其中:

为二次均匀B样条基函数.

端点性质：

1) 两端点的位置矢量:

2) 两端点的切矢:

r′(0)=V1-V0,r′(1)=V2-V1.

例1 设轴线异面管道的轴线分别为 和二次B样条曲线的控制多边形的顶点可选为V0(1,-2,0)、V1(1,0,0)、V2(0,1,0)、V3(0,1,2)，则与Φ1和Φ2的轴线光滑拼接的两段C1连续二次均匀B样条曲线的参数表达式分别为：

(1)

拼接效果如图1所示.

图1 两段二次B样条曲线与两个轴线拼接效果图Fig.1 Blending effect drawing of two-stage quadratic B-spline curves and two axes

2 构造与轴线异面的管道Φ1和Φ2光滑拼接的两段光滑管道

以两段二次B样条曲线为轴线的光滑拼接两个轴线异面管道的拼接管道的表达式为[16]:

(2)

其中[xi(s),yi(s),zi(s)]是B样条曲线的参数表示，N=(Ni1(s),Ni2(s),Ni3(s))，B=(Bi1(s),Bi2(s),Bi3(s)),(i=1,2)分别是两段B样条曲线在点s处的主法矢和副法矢.

当a1≥a2、b1≥b2时，

δ11(s)=a1+(c1-a1)s,δ12(s)=b1+(d1-b1)s,a1≥c1≥a2,b1≥d1≥b2；

δ21(s)=c1+(a2-c1)s,δ22(s)=d1+(b2-d1)s,a1≥c1≥a2,b1≥d1≥b2.

反之亦然.

1) 当a1=b1=a2=b2时，p1(s,φ)和p2(s,φ)是两个轴线异面圆管道的分两段拼接管道.

2) 当a1=b1≠a2=b2或a1≠b1,a2≠b2时，分别为两个半径不同轴线异面圆管道或椭圆管道的分两段C0拼接曲面.

为了使拼接管道与两个轴线异面的管道光滑拼接，可用轴线光滑拼接和母线光滑拼接技术达到C1拼接.

(3)

因为在与轴线垂直的平面上构造椭圆，椭圆的长半轴与短半轴分别在主法矢和副法矢构成的活动坐标系上，需要时时调整椭圆的长半轴和短半轴[22].

假如椭圆管道p1(s,φ)在s=1处和p2(s,φ)在s=0处长半轴和短半轴不相对应，则可以调整p1(s,φ)的走向使其与p2(s,φ)在s=0处的长半轴和短半轴相对应(也可以调整p2(s,φ)的走向与p1(s,φ)在s=1处的长半轴和短半轴相对应).这时调整后拼接管道的表达式为:

其中:

当调整p1(s,φ)的走向时，θ=θ1+(θ2-θ1)s，其中θ1=〈N1(0),N1(1)〉,θ2=〈N1(1)，N2(0)〉；当调整p2(s,φ)的走向时，θ=θ1+(θ2-θ1)s，其中θ1=〈N1(1),N2(0)〉,θ2=〈N2(0),N2(1)〉.

3 拼接实例

例2 两个轴线异面管道轴线分两段光滑拼接二次B样条曲线为式(2).

1) 当a1=b1=a2=b2时，光滑拼接两个轴线异面圆管道的两段光滑拼接的管道的参数表达式分别为:

和

其中a1=b1=a2=b2=0.2，拼接管道的效果图为图2.

图2 轴线异面粗细相同的圆管道两段光滑拼接效果图Fig.2 Effect drawing of smooth blending of two sections of circular tubes with the same radiuses and non-coplanar axes

图3 轴线异面粗细不同的圆管道两段光滑拼接效果图Fig.3 Effect drawing of smooth blending of two sections of circular tubes with different radiuses and non-coplanar axes

图4 轴线异面椭圆管道的分两段光滑拼接效果图Fig.4 Effect drawing of smooth blending of two sections of elliptical tubes and non-coplanar axes

2) 当a1=b1≠a2=b2时，光滑拼接轴线异面管道的某两个母线的分两段二次B样条曲线为:

(4)

光滑拼接两个粗细不同轴线异面圆管道的拼接管道的效果图为图3，其中a1=b1=0.4,a2=b2=0.2.

和

其光滑拼接效果如图4.

4 结语

在用轴线光滑拼接的两段C1连续二次均匀B样条曲线的基础上，以光滑拼接的两段C1连续二次均匀B样条曲线为轴线的管道分两段光滑拼接了两个轴线异面的管道.这样的拼接管道表达式简洁，拼接效果非常好，更易于应用.在构造轴线异面管道的光滑拼接椭圆管道时，依赖于曲线上活动坐标轴的选取.分两段光滑拼接时，需要三个拼接接口处椭圆的长半轴和短半轴相对应，有时在每一点处都要对活动坐标系作旋转变换.具体应用时,为了满足拼接管道的光顺性，还需要作更多的处理.